Madhyamik 2027 (WBBSE) · Model question paper

Mathematics — Set 2

মাধ্যমিক ২০২৭ · গণিত · মডেল প্রশ্নপত্র ২

Full marks: 90 · Time: 3 hours 15 minutes (the first 15 minutes are for reading the paper)

Built by PadhoDost on the official WBBSE question pattern (groups, marks and chapter-wise questions). It is a practice paper, not an official Board paper. The answers are in a closed box after each group, so write yours first.

Show first:

Group A: Multiple choice questions

6 marks

বহু বিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন

Answer all · 1 mark each

  1. 1.1
    The compound interest on ₹1,000 for 2 years at 10% per annum, compounded yearly, is ____.বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে ১,০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ____।
    • (a)₹200২০০ টাকা
    • (b)₹1,210১,২১০ টাকা
    • (c)₹210২১০ টাকা
    • (d)₹220২২০ টাকা
  2. 1.2
    Which of the following is a quadratic surd?নীচের কোনটি দ্বিঘাত করণী?
    • (a)√9√9
    • (b)∛5∛5
    • (c)√7√7
    • (d)√(4/9)√(4/9)
  3. 1.3
    O is the centre of a circle and arc AB subtends ∠AOB = 80° at the centre. If P is a point on the remaining part of the circle, then ∠APB = ____.O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB চাপ কেন্দ্রে ∠AOB = 80° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের বাকি অংশে P যে-কোনো একটি বিন্দু হলে ∠APB = ____।
    • (a)40°৪০°
    • (b)80°৮০°
    • (c)160°১৬০°
    • (d)100°১০০°
  4. 1.4
    If sin θ = 3/5 (θ is an acute angle), then cos θ =sin θ = 3/5 হলে (θ সূক্ষ্মকোণ) cos θ-এর মান
    • (a)3/4৩/৪
    • (b)5/4৫/৪
    • (c)4/5৪/৫
    • (d)5/3৫/৩
  5. 1.5
    Which of the following objects is shaped like a right circular cylinder?নীচের কোন বস্তুটির আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙের মতো?
    • (a)a cricket ballক্রিকেট বল
    • (b)an ice-cream coneআইসক্রিমের কোন
    • (c)a road rollerরাস্তা সমান করার রোলার
    • (d)a brickইট
  6. 1.6
    The mode of the data 4, 6, 5, 6, 8, 5, 6, 9 is৪, ৬, ৫, ৬, ৮, ৫, ৬, ৯ — এই রাশিতথ্যের সংখ্যাগুরুমান
    • (a)6৬
    • (b)5৫
    • (c)3৩
    • (d)8৮
Answers — Group A
  1. 1.1

    (c) ₹210

    A = 1000(1 + 10/100)² = 1000 × 1.21 = ₹1,210, so CI = 1,210 − 1,000 = ₹210. Trap: ₹200 is the simple interest and ₹1,210 is the amount, not the interest.A = 1000(1 + 10/100)² = 1000 × 1.21 = 1210 টাকা, তাই চক্রবৃদ্ধি সুদ = 1210 − 1000 = 210 টাকা। সাবধান: ২০০ টাকা হলো সরল সুদ এবং ১,২১০ টাকা হলো সমূল চক্রবৃদ্ধি, সুদ নয়।Revise: Compound Interest (up to 3 years) and Uniform Rate of Increase or Decrease (চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস) →
  2. 1.2

    (c) √7

    7 is a positive rational number that is not a perfect square, so √7 is a quadratic surd. √9 = 3 and √(4/9) = 2/3 are rational, and ∛5 is a cube root (a cubic surd), not a quadratic surd.৭ একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়, তাই √7 দ্বিঘাত করণী। √9 = 3 ও √(4/9) = 2/3 মূলদ সংখ্যা, আর ∛5 ঘনমূল (ত্রিঘাত করণী), দ্বিঘাত করণী নয়।Revise: Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) →
  3. 1.3

    (a) 40°

    The angle at the centre is twice the angle in the circle on the same arc, so ∠APB = 80° ÷ 2 = 40°. Trap: 160° doubles the angle instead of halving it.একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ, তাই ∠APB = 80° ÷ 2 = 40°। সাবধান: অর্ধেক না করে দ্বিগুণ করলে ১৬০° আসে, যা ভুল।Revise: Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) →
  4. 1.4

    (c) 4/5

    cos θ = √(1 − sin²θ) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5. (Perpendicular 3, hypotenuse 5, so base 4.)cos θ = √(1 − sin²θ) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5। (লম্ব ৩, অতিভুজ ৫, তাই ভূমি ৪।)Revise: Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) →
  5. 1.5

    (c) a road roller

    A road roller has two equal circular ends joined by a curved surface, so it is a right circular cylinder. A cricket ball is a sphere, an ice-cream cone is a cone and a brick is a cuboid.রোলারের দুটি সমান বৃত্তাকার প্রান্ত একটি বক্রতল দিয়ে যুক্ত, তাই এটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ। ক্রিকেট বল গোলক, আইসক্রিমের কোন শঙ্কু এবং ইট আয়তঘন আকারের।Revise: Right Circular Cylinder (লম্ব বৃত্তাকার চোঙ) →
  6. 1.6

    (a) 6

    The mode is the value that occurs most often. 6 occurs 3 times, 5 occurs twice and the others once, so the mode is 6; 3 is only its frequency.যে মান সবচেয়ে বেশিবার আছে সেটিই সংখ্যাগুরুমান। ৬ আছে ৩ বার, ৫ আছে ২ বার, বাকিগুলি ১ বার করে, তাই সংখ্যাগুরুমান ৬; ৩ কেবল তার পরিসংখ্যা।Revise: Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) →

Group B: Fill in the blanks

5 marks

শূন্যস্থান পূরণ করো

Answer any 5 of 6 · 1 mark each

  1. 2.1
    On the same principal at the same rate of interest, the simple interest and the compound interest (compounded yearly) for 1 year are ____.একই আসল ও একই সুদের হারে ১ বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ (বার্ষিক চক্রবৃদ্ধিতে) ____।
  2. 2.2
    Fill in the blank: √48 expressed as a mixed surd in its simplest form is ____.শূন্যস্থান পূরণ করো: √48-কে সরলতম মিশ্র করণী আকারে প্রকাশ করলে হয় ____।
  3. 2.3
    Angles in the same segment of a circle are ____.বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলি পরস্পর ____।
  4. 2.4
    If cosec θ − cot θ = 1/3, then cosec θ + cot θ = ____.cosec θ − cot θ = 1/3 হলে cosec θ + cot θ = ____।
  5. 2.5
    The total surface area of a closed right circular cylinder of base radius r and height h is ____.ভূমির ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h বিশিষ্ট দুই মুখ বন্ধ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ____।
  6. 2.6
    In a less than type ogive, the cumulative frequencies are plotted against the ____ class limits.ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাগুলি ____ শ্রেণি-সীমার বিপরীতে স্থাপন করা হয়।
Answers — Group B
  1. 2.1
    Equal — in the first year the compound interest is also calculated on the original principal only.সমান — প্রথম বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদও কেবল মূল আসলের উপর হিসাব করা হয়।Revise: Compound Interest (up to 3 years) and Uniform Rate of Increase or Decrease (চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস) →
  2. 2.2
    4√3, because √48 = √(16 × 3) = 4√3, and 3 has no square factor other than 1.4√3, কারণ √48 = √(16 × 3) = 4√3 এবং 3-এর 1 ছাড়া কোনো বর্গ উৎপাদক নেই।Revise: Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) →
  3. 2.3
    Equal — they stand on the same arc, so each is half the angle that arc subtends at the centre.সমান — এরা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান, তাই প্রত্যেকটি ওই চাপের কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।Revise: Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) →
  4. 2.4
    3, because (cosec θ + cot θ)(cosec θ − cot θ) = cosec²θ − cot²θ = 1.৩, কারণ (cosec θ + cot θ)(cosec θ − cot θ) = cosec²θ − cot²θ = 1।Revise: Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) →
  5. 2.5
    2πr(r + h) square units — the curved surface 2πrh plus the two circular ends 2πr².2πr(r + h) বর্গএকক — বক্রতল 2πrh এবং দুটি বৃত্তাকার সমতল 2πr²-এর যোগফল।Revise: Right Circular Cylinder (লম্ব বৃত্তাকার চোঙ) →
  6. 2.6
    upper — the less than cumulative frequency of a class counts all the observations below its upper limit.ঊর্ধ্ব — কোনো শ্রেণির ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তার ঊর্ধ্ব সীমার চেয়ে কম সব রাশির সংখ্যা।Revise: Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) →

Group C: True or false

5 marks

সত্য বা মিথ্যা লেখো

Answer any 5 of 6 · 1 mark each

  1. 3.1
    State true or false: The compound interest on ₹100 for 2 years at 10% per annum, compounded yearly, is ₹20.সত্য বা মিথ্যা লেখো: বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে ১০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ২০ টাকা।
  2. 3.2
    True or false: √(9/16) is a quadratic surd.সত্য বা মিথ্যা লেখো: √(9/16) একটি দ্বিঘাত করণী।
  3. 3.3
    State true or false: The angle in a segment less than a semicircle is an acute angle.সত্য বা মিথ্যা লেখো: অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ সূক্ষ্মকোণ।
  4. 3.4
    True or false: For an acute angle θ, the value of sec θ can be 1/2.সত্য বা মিথ্যা লেখো: সূক্ষ্মকোণ θ-এর জন্য sec θ-এর মান 1/2 হতে পারে।
  5. 3.5
    State true or false: When a rectangle 7 cm long and 4 cm wide is rotated about its length, the base radius of the cylinder formed is 7 cm.সত্য বা মিথ্যা লেখো: ৭ সেমি দৈর্ঘ্য ও ৪ সেমি প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রকে তার দৈর্ঘ্যকে অক্ষ করে ঘোরালে উৎপন্ন চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ ৭ সেমি।
  6. 3.6
    If 5 is added to every observation of a set of data, the mean of the data also increases by 5.কোনো রাশিতথ্যের প্রতিটি রাশির সঙ্গে ৫ যোগ করলে রাশিতথ্যের গড়ও ৫ বৃদ্ধি পায়।
Answers — Group C
  1. 3.1
    False — amount = 100 × (1 + 10/100)² = ₹121, so the compound interest is ₹21 (₹20 is the simple interest).মিথ্যা — সমূল চক্রবৃদ্ধি = 100 × (1 + 10/100)² = ১২১ টাকা, তাই চক্রবৃদ্ধি সুদ ২১ টাকা (২০ টাকা হলো সরল সুদ)।Revise: Compound Interest (up to 3 years) and Uniform Rate of Increase or Decrease (চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস) →
  2. 3.2
    False. √(9/16) = 3/4 is a rational number, so it is not a surd.মিথ্যা। √(9/16) = 3/4, যা একটি মূলদ সংখ্যা; তাই এটি করণী নয়।Revise: Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) →
  3. 3.3
    False — that angle stands on the major arc, whose angle at the centre is more than 180°, so the angle in a minor segment is obtuse.মিথ্যা — ওই কোণ অধিচাপের উপর দণ্ডায়মান, যার কেন্দ্রস্থ কোণ ১৮০°-এর বেশি; তাই ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ।Revise: Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) →
  4. 3.4
    False. sec θ = hypotenuse/base and the hypotenuse is the longest side, so sec θ > 1 for an acute angle; it can never be 1/2.মিথ্যা। sec θ = অতিভুজ/ভূমি এবং অতিভুজ বৃহত্তম বাহু, তাই সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে sec θ > 1; এর মান কখনও 1/2 হতে পারে না।Revise: Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) →
  5. 3.5
    False — the side about which it rotates (7 cm) becomes the height; the base radius is the other side, 4 cm.মিথ্যা — যে বাহুকে অক্ষ করে ঘোরানো হয় (৭ সেমি) সেটি উচ্চতা হয়; ভূমির ব্যাসার্ধ হয় অপর বাহু, অর্থাৎ ৪ সেমি।Revise: Right Circular Cylinder (লম্ব বৃত্তাকার চোঙ) →
  6. 3.6
    True — the sum of the n observations increases by 5n, so the mean (sum ÷ n) increases by 5n/n = 5.সত্য — n-সংখ্যক রাশির সমষ্টি 5n বৃদ্ধি পায়, তাই গড় (সমষ্টি ÷ n) 5n/n = 5 বৃদ্ধি পায়।Revise: Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) →

Group D: Short answer questions

20 marks

সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

Answer any 10 of 12 · 2 marks each

  1. 4.1
    A, B and C start a business with capitals of ₹ 15000, ₹ 25000 and ₹ 20000 respectively for the same period. If the profit is ₹ 12000, find C's share.A, B ও C যথাক্রমে 15000 টাকা, 25000 টাকা ও 20000 টাকা মূলধন নিয়ে একই সময়ের জন্য একটি কারবার শুরু করলেন। লাভ 12000 টাকা হলে C-এর লভ্যাংশ নির্ণয় করো।
  2. 4.2
    In how many years will a sum of money become three times itself at 10% simple interest per annum?বার্ষিক ১০% সরল সুদের হারে কত বছরে কোনো টাকা সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?
  3. 4.3
    What number must be added to each of 2, 7, 9 and 21 so that the sums are in proportion?২, ৭, ৯ ও ২১-এর প্রতিটির সঙ্গে কোন সংখ্যা যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে?
  4. 4.4
    x varies inversely as y, and x = 15 when y = 4. Find the value of y when x = 10.x, y-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে এবং y = 4 হলে x = 15। x = 10 হলে y-এর মান নির্ণয় করো।
  5. 4.5
    A point P is 17 cm away from the centre O of a circle of radius 8 cm. Find the length of the tangent PT drawn from P to the circle.8 cm ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে P বিন্দুর দূরত্ব 17 cm। P থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক PT-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
  6. 4.6
    In ΔABC, D and E are points on AB and AC respectively such that DE ∥ BC. If AD = (x + 2) cm, DB = (x − 1) cm, AE = (x + 6) cm and EC = (x + 1) cm, find the value of x.ΔABC-এর AB ও AC বাহুর উপর যথাক্রমে D ও E এমন দুটি বিন্দু যে DE ∥ BC। AD = (x + 2) cm, DB = (x − 1) cm, AE = (x + 6) cm এবং EC = (x + 1) cm হলে x-এর মান নির্ণয় করো।
  7. 4.7
    A man walks 24 m due east from a place and then 10 m due north. How far is he now from the starting place?একজন ব্যক্তি একটি স্থান থেকে ২৪ m পূর্ব দিকে গিয়ে তারপর ১০ m উত্তর দিকে গেলেন। তিনি এখন যাত্রাস্থান থেকে কত দূরে আছেন?
  8. 4.8
    If sec 5A = cosec(A + 36°), where 5A and (A + 36°) are acute angles, find the value of A.sec 5A = cosec(A + 36°) এবং 5A ও (A + 36°) সূক্ষ্মকোণ হলে A-এর মান নির্ণয় করো।
  9. 4.9
    A ladder rests against a vertical wall. Its foot is on level ground 2.5 m away from the wall, and the ladder makes an angle of 60° with the ground. Find the length of the ladder.একটি মই একটি উল্লম্ব দেওয়ালে হেলান দিয়ে রাখা আছে। সমতল ভূমিতে মইয়ের পাদদেশ দেওয়াল থেকে ২.৫ মিটার দূরে এবং মইটি ভূমির সঙ্গে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে। মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
  10. 4.10
    The curved surface area of a sphere is 616 cm². Find its volume. (Take π = 22/7)একটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 616 বর্গসেমি। গোলকটির আয়তন নির্ণয় করো। (π = 22/7 ধরো)
  11. 4.11
    Find the curved surface area of a right circular cone whose base diameter is 14 cm and slant height is 10 cm. (Take π = 22/7)একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাস 14 cm এবং হেলানো উচ্চতা 10 cm। এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (π = 22/7 ধরো)
  12. 4.12
    The observations 6, 8, 10, 12, x, x + 2, 18, 20 are arranged in ascending order and their median is 13. Find the value of x.৬, ৮, ১০, ১২, x, x + 2, ১৮, ২০ — এই রাশিগুলি ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে এবং এদের মধ্যমা ১৩। x-এর মান নির্ণয় করো।
Answers — Group D
  1. 4.1
    Ratio of capitals A : B : C = 15000 : 25000 : 20000 = 3 : 5 : 4; sum of the parts = 12. C's share = 12000 × 4/12 = ₹ 4000.মূলধনের অনুপাত A : B : C = 15000 : 25000 : 20000 = 3 : 5 : 4; অনুপাতের অংশগুলির যোগফল = 12। C-এর লভ্যাংশ = 12000 × 4/12 টাকা = 4000 টাকা।Revise: Partnership Business (অংশীদারি কারবার) →
  2. 4.2
    Let the principal be ₹p. Amount = 3p, so interest = 3p − p = ₹2p. 2p = (p × 10 × t)/100 ⇒ t = 200/10 = 20. Required time = 20 years.ধরি, আসল p টাকা। সুদ-আসল = 3p, তাই সুদ = 3p − p = 2p টাকা। 2p = (p × 10 × t)/100 ⇒ t = 200/10 = 20। নির্ণেয় সময় ২০ বছর।Revise: Simple Interest (সরল সুদকষা) →
  3. 4.3
    Let the number be x. Then (2 + x) : (7 + x) = (9 + x) : (21 + x). Product of extremes = product of means: (2 + x)(21 + x) = (7 + x)(9 + x) ⇒ 42 + 23x + x² = 63 + 16x + x² ⇒ 7x = 21 ⇒ x = 3. The required number is 3 (check: 5 : 10 = 12 : 24 = 1 : 2).ধরি, সংখ্যাটি x। তাহলে (2 + x) : (7 + x) = (9 + x) : (21 + x)। প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল = মধ্যরাশিদ্বয়ের গুণফল: (2 + x)(21 + x) = (7 + x)(9 + x) ⇒ 42 + 23x + x² = 63 + 16x + x² ⇒ 7x = 21 ⇒ x = 3। নির্ণেয় সংখ্যাটি ৩ (যাচাই: 5 : 10 = 12 : 24 = 1 : 2)।Revise: Ratio and Proportion (অনুপাত ও সমানুপাত) →
  4. 4.4
    Since x ∝ 1/y, xy = k (k a non-zero constant). When y = 4, x = 15: k = 15 × 4 = 60, so xy = 60. When x = 10: 10y = 60 ⇒ y = 6.যেহেতু x ∝ 1/y, তাই xy = k (k অশূন্য ধ্রুবক)। y = 4 হলে x = 15: k = 15 × 4 = 60, তাই xy = 60। x = 10 হলে 10y = 60 ⇒ y = 6।Revise: Variation (ভেদ) →
  5. 4.5
    OT is the radius through the point of contact T, so OT ⊥ PT and ΔOTP is right-angled at T. By Pythagoras' theorem, PT² = OP² − OT² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, so PT = 15 cm.OT স্পর্শবিন্দু T-গামী ব্যাসার্ধ, তাই OT ⊥ PT এবং ΔOTP-এর ∠OTP সমকোণ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী PT² = OP² − OT² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, তাই PT = 15 cm।Revise: Theorems related to Tangent to a Circle (বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য) →
  6. 4.6
    Since DE ∥ BC, AD/DB = AE/EC (a line parallel to one side of a triangle divides the other two sides in the same ratio). So (x + 2)/(x − 1) = (x + 6)/(x + 1) ⇒ (x + 2)(x + 1) = (x + 6)(x − 1) ⇒ x² + 3x + 2 = x² + 5x − 6 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4. Check: AD/DB = 6/3 = 2 and AE/EC = 10/5 = 2.DE ∥ BC বলে AD/DB = AE/EC (ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে)। সুতরাং (x + 2)/(x − 1) = (x + 6)/(x + 1) ⇒ (x + 2)(x + 1) = (x + 6)(x − 1) ⇒ x² + 3x + 2 = x² + 5x − 6 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4। যাচাই: AD/DB = 6/3 = 2 এবং AE/EC = 10/5 = 2।Revise: Similarity (সদৃশতা) →
  7. 4.7
    The eastward and northward paths are at right angles, so the distance from the starting place is the hypotenuse of a right-angled triangle with sides 24 m and 10 m. Distance = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √676 = 26 m.পূর্ব ও উত্তর দিকের পথ দুটি পরস্পর লম্ব, তাই যাত্রাস্থান থেকে দূরত্ব হল ২৪ m ও ১০ m বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ। দূরত্ব = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √676 = 26 m।Revise: Pythagoras Theorem (পিথাগোরাসের উপপাদ্য) →
  8. 4.8
    sec 5A = cosec(90° − 5A), so cosec(90° − 5A) = cosec(A + 36°). Both angles are acute, so 90° − 5A = A + 36°, i.e. 6A = 54° and A = 9°.sec 5A = cosec(90° − 5A), তাই cosec(90° − 5A) = cosec(A + 36°)। উভয় কোণ সূক্ষ্মকোণ, তাই 90° − 5A = A + 36°, অর্থাৎ 6A = 54° এবং A = 9°।Revise: Trigonometric Ratios of Complementary Angle (পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত) →
  9. 4.9
    Let the length of the ladder be l m. The ladder is the hypotenuse and the 2.5 m distance is the side adjacent to the 60° angle. cos 60° = 2.5/l ⇒ 1/2 = 2.5/l ⇒ l = 5. Length of the ladder = 5 m.ধরি, মইটির দৈর্ঘ্য l মিটার। মইটি অতিভুজ এবং ২.৫ মিটার দূরত্বটি ৬০° কোণের সন্নিহিত বাহু। cos 60° = 2.5/l ⇒ 1/2 = 2.5/l ⇒ l = 5। মইটির দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।Revise: Application of Trigonometric Ratios: Heights and Distances (ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব) →
  10. 4.10
    4πr² = 616 ⇒ 4 × (22/7) × r² = 616 ⇒ r² = 616 × 7/88 = 49 ⇒ r = 7 cm. Volume = (4/3)πr³ = (4/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7 = 4312/3 = 1437⅓ cm³ (≈ 1437.33 cm³).4πr² = 616 ⇒ 4 × (22/7) × r² = 616 ⇒ r² = 616 × 7/88 = 49 ⇒ r = 7 সেমি। আয়তন = (4/3)πr³ = (4/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7 = 4312/3 = 1437⅓ ঘনসেমি (≈ 1437.33 ঘনসেমি)।Revise: Sphere (গোলক) →
  11. 4.11
    Base radius r = 14 ÷ 2 = 7 cm; slant height l = 10 cm. Curved surface area = πrl = (22/7) × 7 × 10 = 220 cm².ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14 ÷ 2 = 7 cm; হেলানো উচ্চতা l = 10 cm। বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = (22/7) × 7 × 10 = 220 cm²।Revise: Right Circular Cone (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু) →
  12. 4.12
    Here n = 8 (even), so median = mean of the 4th and 5th terms = (12 + x)/2. (12 + x)/2 = 13 ⇒ 12 + x = 26 ⇒ x = 14. (Check: 12, 14, 16, 18 are still in ascending order.) So x = 14.এখানে n = 8 (যুগ্ম), তাই মধ্যমা = ৪র্থ ও ৫ম পদের গড় = (12 + x)/2। (12 + x)/2 = 13 ⇒ 12 + x = 26 ⇒ x = 14। (যাচাই: ১২, ১৪, ১৬, ১৮ ঊর্ধ্বক্রমেই থাকে।) সুতরাং x = 14।Revise: Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) →

Group E: Arithmetic

5 marks

পাটীগণিত

Answer any 1 of 2 · 5 marks each

  1. 5.1
    A, B and C start a business with ₹ 24000, ₹ 30000 and ₹ 36000 respectively. After 4 months A invests ₹ 6000 more, and after 6 months C withdraws ₹ 12000. If the profit at the end of the year is ₹ 22000, find each partner's share.A, B ও C যথাক্রমে 24000 টাকা, 30000 টাকা ও 36000 টাকা নিয়ে একটি কারবার শুরু করলেন। 4 মাস পরে A আরও 6000 টাকা বিনিয়োগ করলেন এবং 6 মাস পরে C 12000 টাকা তুলে নিলেন। বছরের শেষে লাভ 22000 টাকা হলে প্রত্যেকের লভ্যাংশ নির্ণয় করো।
  2. 5.2
    A sum of money lent at simple interest amounts to ₹7,440 in 3 years and to ₹8,400 in 5 years. Find the sum and the rate of interest per annum.কোনো টাকা সরল সুদে ধার দিলে ৩ বছরে সুদে-আসলে ৭৪৪০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৮৪০০ টাকা হয়। আসল ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করো।
Answers — Group E
  1. 5.1
    A's capital: ₹ 24000 for 4 months and ₹ (24000 + 6000) = ₹ 30000 for the remaining 8 months. A's capital × time = 24000 × 4 + 30000 × 8 = 96000 + 240000 = 336000. B's capital × time = 30000 × 12 = 360000. C's capital: ₹ 36000 for 6 months and ₹ (36000 − 12000) = ₹ 24000 for 6 months. C's capital × time = 36000 × 6 + 24000 × 6 = 216000 + 144000 = 360000. A : B : C = 336000 : 360000 : 360000 = 14 : 15 : 15; sum of the parts = 44. A's share = 22000 × 14/44 = ₹ 7000. B's share = 22000 × 15/44 = ₹ 7500; C's share = 22000 × 15/44 = ₹ 7500. Check: 7000 + 7500 + 7500 = 22000. Answer: A gets ₹ 7000, B gets ₹ 7500 and C gets ₹ 7500.A-এর মূলধন: 4 মাস 24000 টাকা এবং বাকি 8 মাস (24000 + 6000) টাকা = 30000 টাকা। A-এর মূলধন × সময় = 24000 × 4 + 30000 × 8 = 96000 + 240000 = 336000। B-এর মূলধন × সময় = 30000 × 12 = 360000। C-এর মূলধন: 6 মাস 36000 টাকা এবং পরের 6 মাস (36000 − 12000) টাকা = 24000 টাকা। C-এর মূলধন × সময় = 36000 × 6 + 24000 × 6 = 216000 + 144000 = 360000। A : B : C = 336000 : 360000 : 360000 = 14 : 15 : 15; অনুপাতের অংশগুলির যোগফল = 44। A-এর লভ্যাংশ = 22000 × 14/44 টাকা = 7000 টাকা। B-এর লভ্যাংশ = 22000 × 15/44 টাকা = 7500 টাকা; C-এর লভ্যাংশ = 22000 × 15/44 টাকা = 7500 টাকা। যাচাই: 7000 + 7500 + 7500 = 22000। উত্তর: A পাবেন 7000 টাকা, B পাবেন 7500 টাকা এবং C পাবেন 7500 টাকা।Revise: Partnership Business (অংশীদারি কারবার) →
  2. 5.2
    Amount in 5 years = ₹8,400; amount in 3 years = ₹7,440. Interest for (5 − 3) = 2 years = 8400 − 7440 = ₹960, so interest for 1 year = 960 ÷ 2 = ₹480. Interest for 3 years = 3 × 480 = ₹1,440. Principal = 7440 − 1440 = ₹6,000. Rate r = 100I/(pt) = (100 × 480)/(6000 × 1) = 8. Check: 6000 × 8 × 5/100 = 2400 and 6000 + 2400 = 8400. Answer: the sum is ₹6,000 and the rate of interest is 8% per annum.৫ বছরের সুদ-আসল = 8400 টাকা; ৩ বছরের সুদ-আসল = 7440 টাকা। (5 − 3) = 2 বছরের সুদ = 8400 − 7440 = 960 টাকা, তাই ১ বছরের সুদ = 960 ÷ 2 = 480 টাকা। ৩ বছরের সুদ = 3 × 480 = 1440 টাকা। আসল = 7440 − 1440 = 6000 টাকা। সুদের হার r = 100I/(pt) = (100 × 480)/(6000 × 1) = 8। যাচাই: 6000 × 8 × 5/100 = 2400 এবং 6000 + 2400 = 8400। উত্তর: আসল ৬০০০ টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার ৮%।Revise: Simple Interest (সরল সুদকষা) →

Group F: Algebra

9 marks

বীজগণিত

Answer all · 3 marks each

  1. 6.1
    15 farmers can cultivate 18 bighas of land in 6 days. Using the theory of variation, find in how many days 10 farmers can cultivate 12 bighas of land, all working at the same rate.15 জন কৃষক 18 বিঘা জমি 6 দিনে চাষ করতে পারেন। ভেদের প্রয়োগে নির্ণয় করো, একই হারে কাজ করলে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন।
  2. 6.2
    Rina bought some pens for ₹180. If the price of each pen had been ₹3 less, she could have bought 3 more pens with the same money. How many pens did she buy?রিনা ১৮০ টাকায় কয়েকটি কলম কিনল। প্রতিটি কলমের দাম ৩ টাকা কম হলে সে ওই টাকায় আরও ৩টি কলম কিনতে পারত। সে কয়টি কলম কিনেছিল?
  3. 6.3
    The length of a rectangle is (√5 + √3) cm and its breadth is (√5 − √3) cm. Find the area of the rectangle and the length of its diagonal.একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (√5 + √3) সেমি এবং প্রস্থ (√5 − √3) সেমি। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ও কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Answers — Group F
  1. 6.1
    Let the number of farmers be F, the land be A bighas and the time be D days. For a fixed area of land, D ∝ 1/F; for a fixed number of farmers, D ∝ A. So, by the theorem of joint variation, D ∝ A/F, i.e. D = kA/F (k a non-zero constant). When F = 15, A = 18, D = 6: 6 = k × 18/15 ⇒ k = (6 × 15)/18 = 5. So D = 5A/F. When F = 10 and A = 12: D = (5 × 12)/10 = 6. Answer: 10 farmers will cultivate 12 bighas of land in 6 days.ধরি কৃষকের সংখ্যা F, জমির পরিমাণ A বিঘা এবং সময় D দিন। জমির পরিমাণ নির্দিষ্ট থাকলে D ∝ 1/F; কৃষকের সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকলে D ∝ A। সুতরাং যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী D ∝ A/F, অর্থাৎ D = kA/F (k অশূন্য ধ্রুবক)। F = 15, A = 18 হলে D = 6: 6 = k × 18/15 ⇒ k = (6 × 15)/18 = 5। সুতরাং D = 5A/F। F = 10 ও A = 12 হলে D = (5 × 12)/10 = 6। উত্তর: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 6 দিনে চাষ করতে পারবেন।Revise: Variation (ভেদ) →
  2. 6.2
    Let the number of pens be x. Price of each pen = ₹180/x. At ₹3 less per pen she could buy x + 3 pens, so 180/x − 180/(x + 3) = 3. ⇒ 180(x + 3) − 180x = 3x(x + 3) ⇒ 540 = 3x² + 9x ⇒ x² + 3x − 180 = 0. ⇒ x² + 15x − 12x − 180 = 0 ⇒ (x + 15)(x − 12) = 0 ⇒ x = 12 or x = −15. The number of pens cannot be negative, so x = 12. Check: 180 ÷ 12 = ₹15 each; at ₹12 each, 180 ÷ 12 = 15 = 12 + 3 pens. Answer: she bought 12 pens.ধরি, কলমের সংখ্যা x। প্রতিটি কলমের দাম = 180/x টাকা। প্রতিটি কলমের দাম ৩ টাকা কম হলে সে (x + 3)টি কলম কিনতে পারত, তাই 180/x − 180/(x + 3) = 3। ⇒ 180(x + 3) − 180x = 3x(x + 3) ⇒ 540 = 3x² + 9x ⇒ x² + 3x − 180 = 0। ⇒ x² + 15x − 12x − 180 = 0 ⇒ (x + 15)(x − 12) = 0 ⇒ x = 12 অথবা x = −15। কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 12। যাচাই: 180 ÷ 12 = 15 টাকা করে; প্রতিটি 12 টাকা হলে 180 ÷ 12 = 15 = 12 + 3টি কলম। উত্তর: সে ১২টি কলম কিনেছিল।Revise: Quadratic Equation in One Variable (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ) →
  3. 6.3
    Area = length × breadth = (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2 cm². By Pythagoras' theorem, diagonal² = length² + breadth² = (√5 + √3)² + (√5 − √3)² = (8 + 2√15) + (8 − 2√15) = 16. Diagonal = √16 = 4 cm. Answer: area = 2 cm², diagonal = 4 cm.ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2 বর্গসেমি। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, কর্ণ² = দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ² = (√5 + √3)² + (√5 − √3)² = (8 + 2√15) + (8 − 2√15) = 16। কর্ণের দৈর্ঘ্য = √16 = 4 সেমি। উত্তর: ক্ষেত্রফল 2 বর্গসেমি, কর্ণের দৈর্ঘ্য 4 সেমি।Revise: Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) →

Group G: Geometry: theorem, rider and construction

13 marks

জ্যামিতি: উপপাদ্য, প্রয়োগ ও সম্পাদ্য

Answer all

Theorem 5 marks, rider 3 marks, construction 5 marks.

  1. 7.1
    Prove that the angle subtended by an arc of a circle at the centre is twice the angle subtended by the same arc at any point on the remaining part of the circle. (Draw a labelled diagram)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা বৃত্তের বাকি অংশের যে-কোনো বিন্দুতে ওই চাপ দ্বারা উৎপন্ন কোণের দ্বিগুণ। (চিহ্নিত চিত্র আঁকো)

    [5 marks]

  2. 7.2
    O is the circumcentre of an acute-angled triangle ABC. Prove that ∠OBC + ∠BAC = 90°.O সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ABC-এর পরিকেন্দ্র। প্রমাণ করো যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°।

    [3 marks]

  3. 7.3
    Draw a circle with centre O and radius 3 cm. Take any point P on the circle and construct the tangent to the circle at P using ruler and compasses. (Keep traces of construction)O কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং ৩ cm দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু P নিয়ে রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে P বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন করো। (অঙ্কন চিহ্ন রাখবে)

    [5 marks]

Answers — Group G
  1. 7.1
    Figure: a circle with centre O; A, B and P on the circle; PO produced to meet the circle at Q. Given: O is the centre of a circle. The arc AB subtends ∠AOB at the centre and ∠APB at a point P on the remaining part of the circle. To prove: ∠AOB = 2∠APB. Construction: Join P and O, and produce PO to meet the circle at Q. Proof: In ΔAOP, OA = OP (radii of the same circle), so ∠OAP = ∠OPA. The exterior angle ∠AOQ of ΔAOP = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA. ...(1) Similarly, in ΔBOP, OB = OP, so ∠OBP = ∠OPB and the exterior angle ∠BOQ = 2∠OPB. ...(2) Adding (1) and (2): ∠AOQ + ∠BOQ = 2(∠OPA + ∠OPB), i.e. ∠AOB = 2∠APB. (Proved) Note: the same steps hold when AB is a major arc (∠AOB is then a reflex angle); if O lies outside ∠APB, subtract (2) from (1) instead of adding.চিত্র: O কেন্দ্রীয় বৃত্ত; বৃত্তের উপর A, B ও P বিন্দু; PO-কে বর্ধিত করে বৃত্তের উপর Q বিন্দু পর্যন্ত টানা। প্রদত্ত: O বৃত্তের কেন্দ্র। AB চাপ কেন্দ্রে ∠AOB এবং বৃত্তের বাকি অংশের উপর P বিন্দুতে ∠APB উৎপন্ন করেছে। প্রামাণ্য: ∠AOB = 2∠APB। অঙ্কন: P, O যুক্ত করে PO-কে বর্ধিত করা হলো, যা বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ: ΔAOP-এ OA = OP (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই ∠OAP = ∠OPA। ΔAOP-এর বহিঃস্থ কোণ ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA। ...(1) অনুরূপে, ΔBOP-এ OB = OP, তাই ∠OBP = ∠OPB এবং বহিঃস্থ কোণ ∠BOQ = 2∠OPB। ...(2) (1) ও (2) যোগ করে পাই: ∠AOQ + ∠BOQ = 2(∠OPA + ∠OPB), অর্থাৎ ∠AOB = 2∠APB। (প্রমাণিত) দ্রষ্টব্য: AB অধিচাপ হলেও (তখন ∠AOB প্রবৃদ্ধ কোণ) একই ধাপগুলি খাটে; O বিন্দু ∠APB-এর বাইরে থাকলে (1) ও (2) যোগ না করে (1) থেকে (2) বিয়োগ করতে হয়।Revise: Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) →
  2. 7.2
    The circumcircle of ΔABC has centre O; join OB and OC. The arc BC subtends ∠BOC at the centre and ∠BAC at the point A on the circle, so ∠BOC = 2∠BAC. In ΔOBC, OB = OC (radii of the same circle), so ∠OBC = ∠OCB. ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180° ⇒ 2∠OBC + 2∠BAC = 180° ⇒ ∠OBC + ∠BAC = 90°. (Proved)ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O; OB ও OC যুক্ত করা হলো। BC চাপ কেন্দ্রে ∠BOC এবং বৃত্তের উপর A বিন্দুতে ∠BAC উৎপন্ন করে, তাই ∠BOC = 2∠BAC। ΔOBC-এ OB = OC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই ∠OBC = ∠OCB। ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180° ⇒ 2∠OBC + 2∠BAC = 180° ⇒ ∠OBC + ∠BAC = 90°। (প্রমাণিত)Revise: Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) →
  3. 7.3
    Steps of construction: 1. With centre O and radius 3 cm, draw a circle. Take any point P on it. 2. Join O and P, and produce OP beyond P to a point Q. 3. With P as centre and any convenient radius, draw arcs cutting PO at A and PQ at B, so that PA = PB. 4. With A and B as centres and a radius greater than half of AB, draw two arcs on the same side of OQ, cutting each other at C. 5. Join P and C, and produce CP on both sides to get the straight line TT′ through P. TT′ is the required tangent at P. Keep all the arcs as traces of construction. Reason: C is equidistant from A and B, and PA = PB, so PC is the perpendicular bisector of AB; that is, TT′ ⊥ OP at P. A straight line drawn perpendicular to a radius at its end point on the circle is a tangent, so TT′ touches the circle at P.অঙ্কন প্রণালী: ১. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ৩ cm ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম। বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু P নিলাম। ২. O, P যুক্ত করে OP-কে P বিন্দুর পরে Q বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। ৩. P বিন্দুকে কেন্দ্র করে যে-কোনো সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে চাপ অঙ্কন করলাম, যা PO-কে A বিন্দুতে এবং PQ-কে B বিন্দুতে ছেদ করল; ফলে PA = PB। ৪. A ও B বিন্দুকে কেন্দ্র করে AB-এর অর্ধেকের বেশি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে OQ-এর একই পাশে দুটি চাপ অঙ্কন করলাম, যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করল। ৫. P, C যুক্ত করে CP-কে উভয় দিকে বর্ধিত করে P বিন্দুগামী সরলরেখা TT′ পেলাম। TT′ হল P বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক। সব চাপ অঙ্কন চিহ্ন হিসেবে রেখে দিলাম। যুক্তি: C বিন্দু A ও B থেকে সমদূরবর্তী এবং PA = PB, তাই PC হল AB-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক; অর্থাৎ P বিন্দুতে TT′ ⊥ OP। ব্যাসার্ধের যে প্রান্তবিন্দু বৃত্তের উপর থাকে, সেই বিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা বৃত্তের স্পর্শক, তাই TT′ বৃত্তকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে।Revise: Construction: Tangent to a Circle (সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন) →

Group H: Trigonometry

11 marks

ত্রিকোণমিতি

Answer any two of the three 3-mark questions, and the heights and distances question (5 marks)

  1. 8.1
    The minute hand of a clock is 21 cm long. Find (i) the angle in radians through which it turns from 9:10 am to 9:35 am, and (ii) the distance travelled by its tip in that time. (Take π = 22/7)একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য ২১ cm। নির্ণয় করো: (i) সকাল ৯টা ১০ মিনিট থেকে ৯টা ৩৫ মিনিট পর্যন্ত কাঁটাটি কত রেডিয়ান কোণ ঘোরে, (ii) ওই সময়ে কাঁটার প্রান্তবিন্দু কত দূরত্ব অতিক্রম করে। (π = 22/7 ধরো)

    [3 marks]

  2. 8.2
    Eliminate θ: x = 3 sin θ + 4 cos θ and y = 4 sin θ − 3 cos θ.θ অপনয়ন করো: x = 3 sin θ + 4 cos θ এবং y = 4 sin θ − 3 cos θ।

    [3 marks]

  3. 8.3
    Prove that [sec(90° − θ) · sin θ · tan(90° − θ)]/[cosec(90° − θ) · cos θ · cot θ] + tan θ · tan(90° − θ) = 2.প্রমাণ করো যে, [sec(90° − θ) · sin θ · tan(90° − θ)]/[cosec(90° − θ) · cos θ · cot θ] + tan θ · tan(90° − θ) = 2।

    [3 marks]

  4. 8.4
    From the roof of a building 20 m high, the angle of elevation of the top of a tower is 60° and the angle of depression of the foot of the tower is 45°. The building and the tower stand on the same level ground. Find the height of the tower and the distance between the building and the tower. (Take √3 = 1.732)২০ মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ ৬০° এবং স্তম্ভের পাদদেশের অবনতি কোণ ৪৫°। বাড়ি ও স্তম্ভটি একই সমতল ভূমিতে অবস্থিত। স্তম্ভটির উচ্চতা এবং বাড়ি ও স্তম্ভের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো। (√3 = 1.732 ধরো)

    [5 marks]

Answers — Group H
  1. 8.1
    The minute hand turns 360° in 60 minutes, i.e. 6° per minute. From 9:10 am to 9:35 am is 25 minutes, so it turns 25 × 6° = 150°. (i) 150° = 150 × π/180 = 5π/6 radian (the rotation is clockwise, so with sign it is −5π/6 radian). (ii) Distance travelled by the tip = arc length s = rθ = 21 × 5π/6 = (21 × 5 × 22)/(6 × 7) = 55 cm. Answer: (i) 5π/6 radian; (ii) 55 cm.মিনিটের কাঁটা 60 মিনিটে 360° ঘোরে, অর্থাৎ প্রতি মিনিটে 6°। সকাল ৯টা ১০ মিনিট থেকে ৯টা ৩৫ মিনিট = 25 মিনিট, তাই কাঁটাটি ঘোরে 25 × 6° = 150°। (i) 150° = 150 × π/180 = 5π/6 রেডিয়ান (ঘূর্ণন ঘড়ির কাঁটার দিকে, তাই চিহ্নসহ −5π/6 রেডিয়ান)। (ii) প্রান্তবিন্দুর অতিক্রান্ত দূরত্ব = চাপের দৈর্ঘ্য s = rθ = 21 × 5π/6 = (21 × 5 × 22)/(6 × 7) = 55 cm। উত্তর: (i) 5π/6 রেডিয়ান; (ii) 55 cm।Revise: Trigonometry: Concept of Measurement of Angle (ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা) →
  2. 8.2
    x = 3 sin θ + 4 cos θ, so x² = 9 sin²θ + 24 sin θ cos θ + 16 cos²θ ...(1) y = 4 sin θ − 3 cos θ, so y² = 16 sin²θ − 24 sin θ cos θ + 9 cos²θ ...(2) Adding (1) and (2): x² + y² = 25 sin²θ + 25 cos²θ = 25(sin²θ + cos²θ) = 25 × 1 = 25 [since sin²θ + cos²θ = 1] Required relation: x² + y² = 25.x = 3 sin θ + 4 cos θ, তাই x² = 9 sin²θ + 24 sin θ cos θ + 16 cos²θ ...(1) y = 4 sin θ − 3 cos θ, তাই y² = 16 sin²θ − 24 sin θ cos θ + 9 cos²θ ...(2) (1) ও (2) যোগ করে পাই x² + y² = 25 sin²θ + 25 cos²θ = 25(sin²θ + cos²θ) = 25 × 1 = 25 [যেহেতু sin²θ + cos²θ = 1] নির্ণেয় সম্পর্ক: x² + y² = 25।Revise: Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) →
  3. 8.3
    sec(90° − θ) = cosec θ, tan(90° − θ) = cot θ and cosec(90° − θ) = sec θ. Numerator = cosec θ · sin θ · cot θ = 1 · cot θ = cot θ. Denominator = sec θ · cos θ · cot θ = 1 · cot θ = cot θ. So the first term = cot θ/cot θ = 1. Second term: tan θ · tan(90° − θ) = tan θ · cot θ = 1. LHS = 1 + 1 = 2 = RHS. (Proved)sec(90° − θ) = cosec θ, tan(90° − θ) = cot θ এবং cosec(90° − θ) = sec θ। লব = cosec θ · sin θ · cot θ = 1 · cot θ = cot θ। হর = sec θ · cos θ · cot θ = 1 · cot θ = cot θ। সুতরাং প্রথম পদ = cot θ/cot θ = 1। দ্বিতীয় পদ: tan θ · tan(90° − θ) = tan θ · cot θ = 1। বামপক্ষ = 1 + 1 = 2 = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)Revise: Trigonometric Ratios of Complementary Angle (পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত) →
  4. 8.4
    Let AB be the building (AB = 20 m, A on the roof, B its foot) and CD the tower (C its top, D its foot). Draw AE ⊥ CD; then AE is horizontal, AE = BD and ED = AB = 20 m. The angle of depression of D from A is 45°, so ∠ADB = 45° (alternate angles). In right-angled △ABD, tan 45° = AB/BD ⇒ 1 = 20/BD ⇒ BD = 20 m, so AE = 20 m. The angle of elevation of C from A is ∠CAE = 60°. In right-angled △AEC, tan 60° = CE/AE ⇒ √3 = CE/20 ⇒ CE = 20√3 m. Height of the tower CD = CE + ED = 20√3 + 20 = 20(√3 + 1) = 20 × 2.732 = 54.64 m. Height of the tower = 54.64 m; distance between the building and the tower = 20 m.ধরি, AB বাড়িটি (AB = 20 মিটার, A ছাদে, B পাদদেশে) এবং CD স্তম্ভটি (C চূড়া, D পাদদেশ)। AE ⊥ CD আঁকি; তাহলে AE অনুভূমিক, AE = BD এবং ED = AB = 20 মিটার। A থেকে D-এর অবনতি কোণ ৪৫°, তাই ∠ADB = 45° (একান্তর কোণ)। সমকোণী △ABD-তে, tan 45° = AB/BD ⇒ 1 = 20/BD ⇒ BD = 20 মিটার, তাই AE = 20 মিটার। A থেকে C-এর উন্নতি কোণ ∠CAE = 60°। সমকোণী △AEC-তে, tan 60° = CE/AE ⇒ √3 = CE/20 ⇒ CE = 20√3 মিটার। স্তম্ভের উচ্চতা CD = CE + ED = 20√3 + 20 = 20(√3 + 1) = 20 × 2.732 = 54.64 মিটার। স্তম্ভটির উচ্চতা ৫৪.৬৪ মিটার এবং বাড়ি ও স্তম্ভের মধ্যে দূরত্ব ২০ মিটার।Revise: Application of Trigonometric Ratios: Heights and Distances (ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব) →

Group I: Mensuration

8 marks

পরিমিতি

Answer any 2 of 3 · 4 marks each

  1. 9.1
    A conical tent is made to hold 22 persons. Each person needs 7 m² of space on the ground and 56 m³ of air. Find the height of the tent and the area of canvas needed to make it, ignoring wastage. (Take π = 22/7)22 জন ব্যক্তির থাকার জন্য শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করা হল। প্রত্যেকের জন্য ভূমিতে 7 m² জায়গা এবং 56 m³ বাতাস প্রয়োজন। তাঁবুটির উচ্চতা এবং অপচয় বাদ দিয়ে তাঁবুটি তৈরি করতে কত বর্গমিটার ক্যানভাস লাগবে, তা নির্ণয় করো। (π = 22/7 ধরো)
  2. 9.2
    A solid metal cuboid measuring 22 cm × 14 cm × 9 cm is melted and recast into solid spheres of diameter 3 cm. Find the number of spheres made and the total surface area of all the spheres. (Take π = 22/7)২২ cm × ১৪ cm × ৯ cm মাপের একটি নিরেট ধাতব আয়তঘন গলিয়ে ৩ cm ব্যাসবিশিষ্ট কয়েকটি নিরেট গোলক তৈরি করা হল। কয়টি গোলক তৈরি হল এবং সবগুলি গোলকের মোট তলের ক্ষেত্রফল কত, নির্ণয় করো। (π = 22/7 ধরো)
  3. 9.3
    A closed wooden box has external dimensions 34 cm × 24 cm × 16 cm. The wood is 2 cm thick everywhere. Find (i) the internal volume (capacity) of the box and (ii) the volume of wood used.ঢাকনাযুক্ত একটি কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ 34 cm × 24 cm × 16 cm। বাক্সের কাঠ সর্বত্র ২ cm পুরু। (i) বাক্সটির ভিতরের আয়তন (ধারণক্ষমতা) এবং (ii) বাক্সটি তৈরি করতে ব্যবহৃত কাঠের আয়তন নির্ণয় করো।
Answers — Group I
  1. 9.1
    Area of the base = 22 × 7 = 154 m². If the base radius is r m, πr² = 154 ⇒ (22/7)r² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7 m. Volume of air = 22 × 56 = 1232 m³. (1/3)πr²h = 1232 ⇒ (1/3) × 154 × h = 1232 ⇒ h = (1232 × 3)/154 = 24 m. Slant height l = √(r² + h²) = √(49 + 576) = √625 = 25 m. Canvas needed = curved surface area = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 550 m². Answer: height of the tent = 24 m; canvas needed = 550 m².ভূমির ক্ষেত্রফল = 22 × 7 = 154 m²। ভূমির ব্যাসার্ধ r m হলে πr² = 154 ⇒ (22/7)r² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7 m। বাতাসের আয়তন = 22 × 56 = 1232 m³। (1/3)πr²h = 1232 ⇒ (1/3) × 154 × h = 1232 ⇒ h = (1232 × 3)/154 = 24 m। হেলানো উচ্চতা l = √(r² + h²) = √(49 + 576) = √625 = 25 m। প্রয়োজনীয় ক্যানভাস = বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 550 m²। উত্তর: তাঁবুর উচ্চতা 24 m; প্রয়োজনীয় ক্যানভাস 550 m²।Revise: Right Circular Cone (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু) →
  2. 9.2
    Volume of the cuboid = 22 × 14 × 9 = 2772 cm³. Radius of each sphere r = 3/2 = 1.5 cm. Volume of one sphere = (4/3)πr³ = (4/3) × (22/7) × (27/8) = 99/7 cm³. Number of spheres = 2772 ÷ (99/7) = 2772 × 7/99 = 28 × 7 = 196. Surface area of one sphere = 4πr² = 4 × (22/7) × (9/4) = 198/7 cm². Total surface area of all the spheres = 196 × 198/7 = 28 × 198 = 5544 cm². Answer: 196 spheres; total surface area 5544 cm².আয়তঘনের আয়তন = 22 × 14 × 9 = 2772 cm³। প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ r = 3/2 = 1.5 cm। একটি গোলকের আয়তন = (4/3)πr³ = (4/3) × (22/7) × (27/8) = 99/7 cm³। গোলকের সংখ্যা = 2772 ÷ (99/7) = 2772 × 7/99 = 28 × 7 = 196। একটি গোলকের তলের ক্ষেত্রফল = 4πr² = 4 × (22/7) × (9/4) = 198/7 cm²। সব গোলকের মোট তলের ক্ষেত্রফল = 196 × 198/7 = 28 × 198 = 5544 cm²। উত্তর: ১৯৬টি গোলক; মোট তলের ক্ষেত্রফল 5544 cm²।Revise: Real-life Problems related to Different Solid Objects (বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা) →
  3. 9.3
    The box is closed, so 2 cm is lost on both sides of every dimension. Internal length = 34 − 2 × 2 = 30 cm; internal breadth = 24 − 4 = 20 cm; internal height = 16 − 4 = 12 cm. (i) Internal volume = 30 × 20 × 12 = 7200 cm³. External volume = 34 × 24 × 16 = 13056 cm³. (ii) Volume of wood = 13056 − 7200 = 5856 cm³. Answer: (i) 7200 cm³; (ii) 5856 cm³.বাক্সটি ঢাকনাযুক্ত, তাই প্রতিটি মাপ থেকে দুই দিকের ২ cm করে বাদ যায়। ভিতরের দৈর্ঘ্য = 34 − 2 × 2 = 30 cm; ভিতরের প্রস্থ = 24 − 4 = 20 cm; ভিতরের উচ্চতা = 16 − 4 = 12 cm। (i) ভিতরের আয়তন = 30 × 20 × 12 = 7200 cm³। বাইরের আয়তন = 34 × 24 × 16 = 13056 cm³। (ii) কাঠের আয়তন = 13056 − 7200 = 5856 cm³। উত্তর: (i) ৭২০০ cm³; (ii) ৫৮৫৬ cm³।Revise: Rectangular Parallelopiped or Cuboid (আয়তঘন) →

Group J: Statistics

8 marks

রাশিবিজ্ঞান

Answer all · 4 marks each

  1. 10.1
    Find the median of the following distribution of marks obtained by 50 students in a test. Marks: 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80, 80–90 Number of students: 3, 7, 10, 20, 6, 4একটি পরীক্ষায় ৫০ জন ছাত্রছাত্রীর প্রাপ্ত নম্বরের নীচের বিভাজনের মধ্যমা নির্ণয় করো। প্রাপ্ত নম্বর: ৩০–৪০, ৪০–৫০, ৫০–৬০, ৬০–৭০, ৭০–৮০, ৮০–৯০ ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা: ৩, ৭, ১০, ২০, ৬, ৪
  2. 10.2
    The ages (in years) of 50 patients admitted to a hospital are given below. Find the mean age of the patients by the step-deviation method. Age (years): 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 Number of patients: 8, 12, 15, 10, 5একটি হাসপাতালে ভর্তি ৫০ জন রোগীর বয়স (বছরে) নীচে দেওয়া হল। ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে রোগীদের গড় বয়স নির্ণয় করো। বয়স (বছর): ০–১০, ১০–২০, ২০–৩০, ৩০–৪০, ৪০–৫০ রোগীর সংখ্যা: ৮, ১২, ১৫, ১০, ৫
Answers — Group J
  1. 10.1
    Cumulative frequencies (less than type): 30–40: 3; 40–50: 3 + 7 = 10; 50–60: 10 + 10 = 20; 60–70: 20 + 20 = 40; 70–80: 40 + 6 = 46; 80–90: 46 + 4 = 50. n = 50, so n/2 = 25. The cumulative frequency just greater than 25 is 40, so the median class is 60–70. Here l = 60, cf (of the class before the median class) = 20, f = 20, h = 10. Median = l + [(n/2 − cf)/f] × h = 60 + [(25 − 20)/20] × 10 = 60 + 2.5 = 62.5. Median = 62.5 marks.ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক): ৩০–৪০: 3; ৪০–৫০: 3 + 7 = 10; ৫০–৬০: 10 + 10 = 20; ৬০–৭০: 20 + 20 = 40; ৭০–৮০: 40 + 6 = 46; ৮০–৯০: 46 + 4 = 50। n = 50, তাই n/2 = 25। ২৫-এর ঠিক বড়ো ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ৪০, তাই মধ্যমা শ্রেণি ৬০–৭০। এখানে l = 60, cf (মধ্যমা শ্রেণির আগের শ্রেণির) = 20, f = 20, h = 10। মধ্যমা = l + [(n/2 − cf)/f] × h = 60 + [(25 − 20)/20] × 10 = 60 + 2.5 = 62.5। মধ্যমা ৬২.৫ নম্বর।Revise: Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) →
  2. 10.2
    Take the assumed mean a = 25 and class width h = 10, so uᵢ = (xᵢ − 25)/10, where xᵢ is the class mark. 0–10: xᵢ = 5, fᵢ = 8, uᵢ = −2, fᵢuᵢ = −16 10–20: xᵢ = 15, fᵢ = 12, uᵢ = −1, fᵢuᵢ = −12 20–30: xᵢ = 25, fᵢ = 15, uᵢ = 0, fᵢuᵢ = 0 30–40: xᵢ = 35, fᵢ = 10, uᵢ = 1, fᵢuᵢ = 10 40–50: xᵢ = 45, fᵢ = 5, uᵢ = 2, fᵢuᵢ = 10 Σfᵢ = 50 and Σfᵢuᵢ = −28 + 20 = −8. Mean = a + (Σfᵢuᵢ/Σfᵢ) × h = 25 + (−8/50) × 10 = 25 − 1.6 = 23.4. Mean age of the patients = 23.4 years.কল্পিত গড় a = 25 এবং শ্রেণি-দৈর্ঘ্য h = 10 ধরি; তাহলে uᵢ = (xᵢ − 25)/10, যেখানে xᵢ শ্রেণি-মধ্যমান। ০–১০: xᵢ = 5, fᵢ = 8, uᵢ = −2, fᵢuᵢ = −16 ১০–২০: xᵢ = 15, fᵢ = 12, uᵢ = −1, fᵢuᵢ = −12 ২০–৩০: xᵢ = 25, fᵢ = 15, uᵢ = 0, fᵢuᵢ = 0 ৩০–৪০: xᵢ = 35, fᵢ = 10, uᵢ = 1, fᵢuᵢ = 10 ৪০–৫০: xᵢ = 45, fᵢ = 5, uᵢ = 2, fᵢuᵢ = 10 Σfᵢ = 50 এবং Σfᵢuᵢ = −28 + 20 = −8। গড় = a + (Σfᵢuᵢ/Σfᵢ) × h = 25 + (−8/50) × 10 = 25 − 1.6 = 23.4। রোগীদের গড় বয়স ২৩.৪ বছর।Revise: Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) →