Madhyamik 2027 (WBBSE) · Mathematics (গণিত)

Sphere (গোলক)

12 practice questions with full step-by-step solutions, quick revision notes — free, no sign-up.

Content reviewed by Kaustav Basak, Founder · Report a mistake

Practise · 12 questions

This chapter has

4
easy
6
medium
2
hard

Sphere (গোলক) — quick revision notes

A sphere is a solid bounded by a single curved surface, every point of which is at the same distance (the radius) from the centre; a plane through the centre cuts it into two hemispheres. Learn the surface-area and volume formulas for both solids and apply them to real-life problems such as balls, domes, bowls and melting one solid to make others.

গোলক এমন একটি ঘনবস্তু যা একটিমাত্র বক্রতল দ্বারা সীমাবদ্ধ এবং যার তলের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে (ব্যাসার্ধ) থাকে; কেন্দ্রগামী সমতল দিয়ে কাটলে দুটি অর্ধগোলক পাওয়া যায়। গোলক ও অর্ধগোলকের তলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সূত্র শিখে বল, গম্বুজ, বাটি বা একটি ঘনবস্তু গলিয়ে অন্য ঘনবস্তু তৈরির মতো বাস্তব সমস্যায় প্রয়োগ করো।
  • A sphere has one curved surface and no edge or vertex; a solid hemisphere has two surfaces — one curved surface and one plane circular face.গোলকের একটিমাত্র বক্রতল, কোনো ধার বা শীর্ষবিন্দু নেই; নিরেট অর্ধগোলকের দুটি তল — একটি বক্রতল ও একটি বৃত্তাকার সমতল।
  • Curved surface area of a sphere = 4πr².গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²।
  • Volume of a sphere = (4/3)πr³.গোলকের আয়তন = (4/3)πr³।
  • Hemisphere: curved surface area = 2πr², total surface area = 2πr² + πr² = 3πr².অর্ধগোলক: বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr², সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² + πr² = 3πr²।
  • Volume of a hemisphere = (2/3)πr³.অর্ধগোলকের আয়তন = (2/3)πr³।
  • If the radius is multiplied by k, the surface area becomes k² times and the volume k³ times (doubling the radius makes the volume 8 times).ব্যাসার্ধ k গুণ করলে তলের ক্ষেত্রফল k² গুণ এবং আয়তন k³ গুণ হয় (ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তন ৮ গুণ)।
  • On melting and recasting, the volume stays the same: number of small spheres = volume of the big sphere ÷ volume of one small sphere = (R/r)³.গলিয়ে নতুন বস্তু তৈরি করলে আয়তন একই থাকে: ছোটো গোলকের সংখ্যা = বড়ো গোলকের আয়তন ÷ একটি ছোটো গোলকের আয়তন = (R/r)³।
  • For a hollow sphere of outer radius R and inner radius r, volume of material = (4/3)π(R³ − r³); for a hemispherical bowl it is (2/3)π(R³ − r³).বাইরের ব্যাসার্ধ R ও ভিতরের ব্যাসার্ধ r হলে ফাঁপা গোলকের ধাতুর আয়তন = (4/3)π(R³ − r³); অর্ধগোলাকার বাটির ক্ষেত্রে তা (2/3)π(R³ − r³)।

Common mistakes to avoid

  • Using the diameter in place of the radius.
  • Using 3πr² for an open bowl or a dome — only the curved surface 2πr² is involved there.
  • Mixing units: surface area is in square units and volume in cubic units; 1 litre = 1000 cm³.

Exam tip: Sphere belongs to the Mensuration part: expect 1-mark MCQ, fill-in or true/false items on formulas, ratios and the effect of changing the radius, 2-mark short answers on a direct formula, and a long-answer word problem (melting and recasting, a dome or a bowl, painting or making cost). Take π = 22/7 unless told otherwise and always write the unit.গোলক পরিমিতি অংশের অধ্যায়: সূত্র, অনুপাত বা ব্যাসার্ধ বদলালে কী হয় — এসবের উপর ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যা, সরাসরি সূত্র প্রয়োগে ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন এবং দীর্ঘ উত্তরের বাস্তব সমস্যা (গলিয়ে নতুন বস্তু তৈরি, গম্বুজ বা বাটি, রং করা বা তৈরির খরচ) আসে। অন্য কিছু বলা না থাকলে π = 22/7 নাও এবং উত্তরে সবসময় একক লেখো।

Sphere (গোলক) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

  1. Q1easy

    How many surfaces does a solid hemisphere have?

    একটি নিরেট অর্ধগোলকের কয়টি তল আছে?
    • A1১
    • B2২
    • C3৩
    • D4৪
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 2

    A solid hemisphere has one curved surface and one plane circular face, so it has 2 surfaces. A sphere, in contrast, has only 1 curved surface.

    নিরেট অর্ধগোলকের একটি বক্রতল ও একটি বৃত্তাকার সমতল আছে, অর্থাৎ ২টি তল। অন্যদিকে গোলকের একটিমাত্র বক্রতল।
  2. Q2medium

    If the volume and the curved surface area of a sphere are numerically equal, its radius is

    কোনো গোলকের আয়তন ও বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে গোলকটির ব্যাসার্ধ
    • A1 unit১ একক
    • B3 units৩ একক
    • C4 units৪ একক
    • D6 units৬ একক
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 3 units

    (4/3)πr³ = 4πr². Dividing both sides by 4πr² gives r/3 = 1, so r = 3 units. Dropping the factor 1/3 wrongly gives r = 1.

    (4/3)πr³ = 4πr²। উভয়পক্ষকে 4πr² দিয়ে ভাগ করলে r/3 = 1, তাই r = 3 একক। 1/3 গুণকটি বাদ পড়লে ভুল করে r = 1 আসে।
  3. Q3easy

    Fill in the blank: The total surface area of a solid hemisphere of radius r is ____.

    শূন্যস্থান পূরণ করো: r ব্যাসার্ধের একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ____।
    • A2πr²2πr²
    • B4πr²4πr²
    • C3πr²3πr²
    • Dπr²πr²
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 3πr²

    Total surface area = curved surface 2πr² + plane circular face πr² = 3πr². 2πr² is only the curved surface area.

    সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = বক্রতল 2πr² + বৃত্তাকার সমতল πr² = 3πr²। 2πr² কেবল বক্রতলের ক্ষেত্রফল।
  4. Q4easy

    The volume of a sphere of radius 3 cm is

    ৩ সেমি ব্যাসার্ধের একটি গোলকের আয়তন
    • A27π cm³২৭π ঘনসেমি
    • B12π cm³১২π ঘনসেমি
    • C108π cm³১০৮π ঘনসেমি
    • D36π cm³৩৬π ঘনসেমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 36π cm³

    V = (4/3)πr³ = (4/3) × π × 27 = 36π cm³. 108π comes from forgetting to divide by 3.

    V = (4/3)πr³ = (4/3) × π × 27 = 36π ঘনসেমি। ৩ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে গেলে ১০৮π আসে।
  5. Q5medium

    The curved surface area of a sphere of radius 7 cm is (take π = 22/7)

    ৭ সেমি ব্যাসার্ধের একটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল (π = 22/7 ধরো)
    • A616 cm²৬১৬ বর্গসেমি
    • B154 cm²১৫৪ বর্গসেমি
    • C308 cm²৩০৮ বর্গসেমি
    • D462 cm²৪৬২ বর্গসেমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 616 cm²

    4πr² = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 cm². 308 cm² and 462 cm² are the curved and total surface areas of a hemisphere of the same radius.

    4πr² = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 বর্গসেমি। ৩০৮ বর্গসেমি ও ৪৬২ বর্গসেমি হল একই ব্যাসার্ধের অর্ধগোলকের বক্রতল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল।
  6. Q6easy

    The ratio of the curved surface area to the total surface area of a solid hemisphere is

    একটি নিরেট অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
    • A1 : 2১ : ২
    • B3 : 2৩ : ২
    • C2 : 3২ : ৩
    • D1 : 3১ : ৩
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 2 : 3

    Curved surface area : total surface area = 2πr² : 3πr² = 2 : 3, whatever the radius. 3 : 2 is the same ratio written the wrong way round.

    বক্রতলের ক্ষেত্রফল : সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² : 3πr² = 2 : 3, ব্যাসার্ধ যা-ই হোক। ৩ : ২ হল উলটো ক্রমে লেখা অনুপাত।
  7. Q7medium

    The radius of a sphere is doubled. Which statement is correct?

    একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হল। কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • AIts volume becomes 2 times.আয়তন ২ গুণ হয়।
    • BIts volume becomes 4 times.আয়তন ৪ গুণ হয়।
    • CIts curved surface area becomes 8 times.বক্রতলের ক্ষেত্রফল ৮ গুণ হয়।
    • DIts volume becomes 8 times.আয়তন ৮ গুণ হয়।
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) Its volume becomes 8 times.

    Volume varies as r³, so it becomes 2³ = 8 times; surface area varies as r², so it becomes 2² = 4 times, not 8 times.

    আয়তন r³-এর সমানুপাতী, তাই তা 2³ = 8 গুণ হয়; তলের ক্ষেত্রফল r²-এর সমানুপাতী, তাই তা 2² = 4 গুণ হয়, ৮ গুণ নয়।
  8. Q8medium

    The volume of a solid hemisphere of radius 21 cm is (take π = 22/7)

    ২১ সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন (π = 22/7 ধরো)
    • A38808 cm³৩৮৮০৮ ঘনসেমি
    • B19404 cm³১৯৪০৪ ঘনসেমি
    • C9702 cm³৯৭০২ ঘনসেমি
    • D2772 cm³২৭৭২ ঘনসেমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 19404 cm³

    (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21 = 2 × 22 × 441 = 19404 cm³. 38808 cm³ is the volume of the full sphere.

    (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21 = 2 × 22 × 441 = 19404 ঘনসেমি। ৩৮৮০৮ ঘনসেমি হল পূর্ণ গোলকের আয়তন।
  9. Q9medium

    The curved surface area of a sphere is 1386 cm². Its radius is (take π = 22/7)

    একটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ১৩৮৬ বর্গসেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধ (π = 22/7 ধরো)
    • A10.5 cm১০.৫ সেমি
    • B21 cm২১ সেমি
    • C7 cm৭ সেমি
    • D14 cm১৪ সেমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 10.5 cm

    4 × (22/7) × r² = 1386 gives r² = 1386 × 7 ÷ 88 = 110.25, so r = 10.5 cm. 21 cm is the diameter.

    4 × (22/7) × r² = 1386 থেকে r² = 1386 × 7 ÷ 88 = 110.25, তাই r = 10.5 সেমি। ২১ সেমি হল ব্যাস।
  10. Q10medium

    For radius r, match Column A with Column B. Column A: (a) Curved surface area of a sphere, (b) Volume of a sphere, (c) Curved surface area of a hemisphere, (d) Volume of a hemisphere. Column B: (i) (2/3)πr³, (ii) 4πr², (iii) 2πr², (iv) (4/3)πr³.

    ব্যাসার্ধ r হলে বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, (b) গোলকের আয়তন, (c) অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, (d) অর্ধগোলকের আয়তন। ডানস্তম্ভ: (i) (2/3)πr³, (ii) 4πr², (iii) 2πr², (iv) (4/3)πr³।
    • Aa-iii, b-i, c-ii, d-iva-iii, b-i, c-ii, d-iv
    • Ba-ii, b-i, c-iii, d-iva-ii, b-i, c-iii, d-iv
    • Ca-ii, b-iv, c-iii, d-ia-ii, b-iv, c-iii, d-i
    • Da-iv, b-ii, c-i, d-iiia-iv, b-ii, c-i, d-iii
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) a-ii, b-iv, c-iii, d-i

    A sphere has curved surface area 4πr² and volume (4/3)πr³; a hemisphere has half of each: 2πr² and (2/3)πr³. So a-ii, b-iv, c-iii, d-i.

    গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr² ও আয়তন (4/3)πr³; অর্ধগোলকের ক্ষেত্রে প্রতিটির অর্ধেক: 2πr² ও (2/3)πr³। সুতরাং a-ii, b-iv, c-iii, d-i।
  11. Q11hard

    A solid metal sphere of radius 6 cm is melted and recast into small solid spheres, each of radius 1.5 cm. How many small spheres are made?

    ৬ সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট ধাতব গোলক গলিয়ে ১.৫ সেমি ব্যাসার্ধের কয়েকটি নিরেট ছোটো গোলক তৈরি করা হল। কতগুলি ছোটো গোলক তৈরি হবে?
    • A64৬৪
    • B16১৬
    • C4৪
    • D32৩২
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 64

    Volume is unchanged on recasting: n × (4/3)π(1.5)³ = (4/3)π(6)³, so n = (6 ÷ 1.5)³ = 4³ = 64. Comparing r² (surface areas) gives 16, and comparing radii alone gives 4.

    গলিয়ে নতুন বস্তু তৈরি করলে আয়তন একই থাকে: n × (4/3)π(1.5)³ = (4/3)π(6)³, তাই n = (6 ÷ 1.5)³ = 4³ = 64। r² (তলের ক্ষেত্রফল) তুলনা করলে ১৬ এবং শুধু ব্যাসার্ধ তুলনা করলে ৪ আসে।
  12. Q12hard

    The outer curved surface of a hemispherical dome of diameter 42 m is to be painted at ₹10 per m². The cost of painting is (take π = 22/7)

    ৪২ মিটার ব্যাসবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার গম্বুজের বাইরের বক্রতল প্রতি বর্গমিটার ১০ টাকা হারে রং করা হবে। রং করার মোট খরচ (π = 22/7 ধরো)
    • A₹41580৪১৫৮০ টাকা
    • B₹55440৫৫৪৪০ টাকা
    • C₹13860১৩৮৬০ টাকা
    • D₹27720২৭৭২০ টাকা
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) ₹27720

    Radius = 42 ÷ 2 = 21 m. Only the curved surface is painted: 2πr² = 2 × (22/7) × 21 × 21 = 2772 m², so cost = 2772 × 10 = ₹27720. Using 3πr² wrongly gives ₹41580 (the dome has no base to paint).

    ব্যাসার্ধ = 42 ÷ 2 = 21 মিটার। কেবল বক্রতল রং করা হবে: 2πr² = 2 × (22/7) × 21 × 21 = 2772 বর্গমিটার, তাই খরচ = 2772 × 10 = 27720 টাকা। 3πr² নিলে ভুল করে ৪১৫৮০ টাকা আসে (গম্বুজের ভূমি রং করা হয় না)।

Want the full set? Practise all 12 Sphere (গোলক) questions →

← All Mathematics (গণিত) chapters