Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান)

This chapter has

Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) — quick revision notes

Mean, median and mode are measures of central tendency — single values that represent a whole set of data. For grouped data the mean is found by the direct, short-cut (assumed mean) or step-deviation method, the median by its formula or from an ogive, and the mode by the modal-class formula; the three are linked by the empirical relation Mode = 3 Median − 2 Mean.

• Mean (direct method): x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ, where xᵢ is the class mark (mid-value) of each class, or the value itself for ungrouped data.গড় (প্রত্যক্ষ পদ্ধতি): x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ, যেখানে xᵢ প্রতিটি শ্রেণির শ্রেণি-মধ্যমান, অশ্রেণিবদ্ধ রাশিতথ্যে মানটি নিজেই।
• Short-cut (assumed mean) method: x̄ = a + Σfᵢdᵢ / Σfᵢ, where dᵢ = xᵢ − a.কল্পিত গড় (সংক্ষিপ্ত) পদ্ধতি: x̄ = a + Σfᵢdᵢ / Σfᵢ, যেখানে dᵢ = xᵢ − a।
• Step-deviation method: x̄ = a + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × h, where uᵢ = (xᵢ − a)/h and h is the class width.ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতি: x̄ = a + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × h, যেখানে uᵢ = (xᵢ − a)/h এবং h শ্রেণি-দৈর্ঘ্য।
• Median of ungrouped data: first arrange the values in order; if n is odd take the ((n + 1)/2)th term, if n is even take the mean of the (n/2)th and (n/2 + 1)th terms.অশ্রেণিবদ্ধ রাশিতথ্যের মধ্যমা: আগে মানগুলি ক্রমানুসারে সাজাও; n অযুগ্ম হলে ((n + 1)/2)-তম পদ, n যুগ্ম হলে (n/2)-তম ও (n/2 + 1)-তম পদের গড়।
• Median of grouped data: Me = l + [(n/2 − cf)/f] × h, where cf is the cumulative frequency of the class just before the median class.শ্রেণিবদ্ধ রাশিতথ্যের মধ্যমা: Me = l + [(n/2 − cf)/f] × h, যেখানে cf মধ্যমা শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা।
• Ogive: less than type — cumulative frequency plotted against upper class limits; more than type — against lower class limits. The abscissa of their point of intersection is the median.ওজাইভ: ক্ষুদ্রতর সূচক — ঊর্ধ্ব শ্রেণি-সীমার বিপরীতে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা; বৃহত্তর সূচক — নিম্ন শ্রেণি-সীমার বিপরীতে। দুটির ছেদবিন্দুর ভুজই মধ্যমা।
• Mode of grouped data: Mo = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h, where f₁ is the frequency of the modal class and f₀, f₂ are those of the classes before and after it.শ্রেণিবদ্ধ রাশিতথ্যের সংখ্যাগুরুমান: Mo = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h, যেখানে f₁ সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা এবং f₀, f₂ তার আগের ও পরের শ্রেণির পরিসংখ্যা।
• Empirical relation among the three measures: Mode = 3 Median − 2 Mean.তিনটি মাপকের সম্পর্ক: সংখ্যাগুরুমান = 3 মধ্যমা − 2 গড়।

Exam tip: All the paper's Statistics questions come from this chapter: one 1-mark MCQ, one fill-in and one true/false (median or mode of a few numbers, Mode = 3 Median − 2 Mean, what the intersection of the two ogives gives), a 2-mark short answer, and two 4-mark long answers (out of three) on the mean, median or mode of a grouped distribution or on drawing an ogive. Set out the table with fᵢxᵢ and cumulative-frequency columns neatly.প্রশ্নপত্রের রাশিবিজ্ঞানের সব প্রশ্ন এই অধ্যায় থেকেই আসে: ১ নম্বরের একটি MCQ, একটি শূন্যস্থান পূরণ ও একটি সত্য/মিথ্যা (কয়েকটি সংখ্যার মধ্যমা বা সংখ্যাগুরুমান, সংখ্যাগুরুমান = 3 মধ্যমা − 2 গড়, দুটি ওজাইভের ছেদবিন্দু থেকে কী পাওয়া যায়), ২ নম্বরের একটি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন এবং তিনটির মধ্যে দুটি ৪ নম্বরের দীর্ঘ প্রশ্ন — শ্রেণিবদ্ধ বিভাজনের গড়, মধ্যমা বা সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় অথবা ওজাইভ অঙ্কন। fᵢxᵢ ও ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার স্তম্ভসহ সারণি গুছিয়ে লিখবে।

Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   Which of the following is NOT a measure of central tendency?

   নীচের কোন্‌টি কেন্দ্রীয় প্রবণতার মাপক নয়?
   • AMeanগড়
   • BMedianমধ্যমা
   • CCumulative frequencyক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
   • DModeসংখ্যাগুরুমান
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) Cumulative frequency

   Mean, median and mode are the three measures of central tendency — single values that represent the whole data. Cumulative frequency is a running total of frequencies used to find the median and to draw an ogive.

   গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান — এই তিনটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার মাপক, যারা একটি মান দিয়ে সমগ্র রাশিতথ্যকে প্রকাশ করে। ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হল পরিসংখ্যাগুলির ক্রমিক যোগফল, যা মধ্যমা নির্ণয় ও ওজাইভ অঙ্কনে লাগে।
2. Q2easy

   The mode of the data 4, 6, 5, 6, 8, 5, 6, 9 is

   ৪, ৬, ৫, ৬, ৮, ৫, ৬, ৯ — এই রাশিতথ্যের সংখ্যাগুরুমান
   • A6৬
   • B5৫
   • C3৩
   • D8৮
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 6

   The mode is the value that occurs most often. 6 occurs 3 times, 5 occurs twice and the others once, so the mode is 6; 3 is only its frequency.

   যে মান সবচেয়ে বেশিবার আছে সেটিই সংখ্যাগুরুমান। ৬ আছে ৩ বার, ৫ আছে ২ বার, বাকিগুলি ১ বার করে, তাই সংখ্যাগুরুমান ৬; ৩ কেবল তার পরিসংখ্যা।
3. Q3easy

   The abscissa (x-coordinate) of the point of intersection of the less than ogive and the more than ogive of a distribution gives its ____.

   কোনো বিভাজনের ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ ও বৃহত্তর সূচক ওজাইভের ছেদবিন্দুর ভুজ (x-স্থানাঙ্ক) থেকে পাওয়া যায় তার ____।
   • Ameanগড়
   • Bmedianমধ্যমা
   • Cmodeসংখ্যাগুরুমান
   • Dtotal frequencyমোট পরিসংখ্যা
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) median

   The two ogives cross at the point whose ordinate is n/2, so the abscissa of that point is the median. The total frequency n is reached at the last point of the less than ogive.

   দুটি ওজাইভ যে বিন্দুতে ছেদ করে তার কোটি n/2, তাই ওই বিন্দুর ভুজই মধ্যমা। মোট পরিসংখ্যা n পাওয়া যায় ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভের শেষ বিন্দুতে।
4. Q4easy

   The median of 7, 3, 9, 5, 12, 10 is

   ৭, ৩, ৯, ৫, ১২, ১০ — এই সংখ্যাগুলির মধ্যমা
   • A7৭
   • B9৯
   • C7.67৭.৬৭
   • D8৮
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 8

   Arrange in order: 3, 5, 7, 9, 10, 12. n = 6 is even, so median = (3rd term + 4th term)/2 = (7 + 9)/2 = 8. Taking the middle of the unarranged list gives (9 + 5)/2 = 7, and 7.67 is the mean (46/6, rounded).

   ঊর্ধ্বক্রমে সাজাই: ৩, ৫, ৭, ৯, ১০, ১২। n = 6 যুগ্ম, তাই মধ্যমা = (৩য় পদ + ৪র্থ পদ)/2 = (7 + 9)/2 = 8। না সাজিয়ে মাঝের দুটি সংখ্যা নিলে (9 + 5)/2 = 7 আসে, আর ৭.৬৭ হল গড় (46/6-এর আসন্ন মান)।
5. Q5medium

   Using the direct method, the mean of the following distribution is — x: 2, 4, 6, 8; f: 3, 5, 8, 4.

   প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের বিভাজনের গড় — x: ২, ৪, ৬, ৮; f: ৩, ৫, ৮, ৪।
   • A5৫
   • B5.3৫.৩
   • C26.5২৬.৫
   • D6৬
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 5.3

   Σf = 3 + 5 + 8 + 4 = 20 and Σfx = 6 + 20 + 48 + 32 = 106, so mean = Σfx/Σf = 106/20 = 5.3. Dividing by 4 (the number of values) gives 26.5, and 5 ignores the frequencies.

   Σf = 3 + 5 + 8 + 4 = 20 এবং Σfx = 6 + 20 + 48 + 32 = 106, তাই গড় = Σfx/Σf = 106/20 = 5.3। মানের সংখ্যা ৪ দিয়ে ভাগ করলে ২৬.৫ আসে, আর পরিসংখ্যা উপেক্ষা করলে ৫ আসে।
6. Q6medium

   In the assumed-mean (short-cut) method, the assumed mean a = 45, Σfᵢ = 40 and Σfᵢdᵢ = −80, where dᵢ = xᵢ − a. The mean of the distribution is

   কল্পিত গড় (সংক্ষিপ্ত) পদ্ধতিতে কল্পিত গড় a = 45, Σfᵢ = 40 এবং Σfᵢdᵢ = −80, যেখানে dᵢ = xᵢ − a। বিভাজনটির গড়
   • A43৪৩
   • B47৪৭
   • C−2−২
   • D45৪৫
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 43

   Mean = a + Σfᵢdᵢ/Σfᵢ = 45 + (−80/40) = 45 − 2 = 43. Ignoring the minus sign gives 47, and −2 forgets to add the assumed mean.

   গড় = a + Σfᵢdᵢ/Σfᵢ = 45 + (−80/40) = 45 − 2 = 43। ঋণচিহ্ন বাদ দিলে ৪৭ আসে, আর −২ উত্তরে কল্পিত গড় যোগ করা হয়নি।
7. Q7medium

   In the step-deviation method, a = 25, class width h = 10, Σfᵢ = 50 and Σfᵢuᵢ = −15, where uᵢ = (xᵢ − a)/h. The mean is

   ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে a = 25, শ্রেণি-দৈর্ঘ্য h = 10, Σfᵢ = 50 এবং Σfᵢuᵢ = −15, যেখানে uᵢ = (xᵢ − a)/h। গড়
   • A24.7২৪.৭
   • B28২৮
   • C25২৫
   • D22২২
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 22

   Mean = a + (Σfᵢuᵢ/Σfᵢ) × h = 25 + (−15/50) × 10 = 25 − 3 = 22. Forgetting to multiply by h gives 24.7, and dropping the minus sign gives 28.

   গড় = a + (Σfᵢuᵢ/Σfᵢ) × h = 25 + (−15/50) × 10 = 25 − 3 = 22। h দিয়ে গুণ করতে ভুলে গেলে ২৪.৭ আসে, আর ঋণচিহ্ন বাদ দিলে ২৮ আসে।
8. Q8medium

   Match the formulas for grouped data in Column A with the measures in Column B. Column A: (a) Σfᵢxᵢ/Σfᵢ, (b) l + [(n/2 − cf)/f] × h, (c) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h. Column B: (i) Mode, (ii) Mean, (iii) Median.

   শ্রেণিবদ্ধ রাশিতথ্যের জন্য স্তম্ভ A-এর সূত্রগুলি স্তম্ভ B-এর মাপকের সঙ্গে মেলাও। স্তম্ভ A: (a) Σfᵢxᵢ/Σfᵢ, (b) l + [(n/2 − cf)/f] × h, (c) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h। স্তম্ভ B: (i) সংখ্যাগুরুমান, (ii) গড়, (iii) মধ্যমা।
   • Aa-i, b-iii, c-iia-i, b-iii, c-ii
   • Ba-ii, b-i, c-iiia-ii, b-i, c-iii
   • Ca-ii, b-iii, c-ia-ii, b-iii, c-i
   • Da-iii, b-ii, c-ia-iii, b-ii, c-i
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) a-ii, b-iii, c-i

   Σfᵢxᵢ/Σfᵢ is the mean (direct method); the formula with n/2 and the cumulative frequency cf is the median; the formula with f₁, f₀, f₂ of the modal class and its neighbours is the mode. So a-ii, b-iii, c-i.

   Σfᵢxᵢ/Σfᵢ হল গড় (প্রত্যক্ষ পদ্ধতি); n/2 ও ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা cf-যুক্ত সূত্রটি মধ্যমার; সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি ও তার আগে-পরের শ্রেণির f₁, f₀, f₂-যুক্ত সূত্রটি সংখ্যাগুরুমানের। তাই a-ii, b-iii, c-i।
9. Q9medium

   Which statement about ogives is correct?

   ওজাইভ সম্পর্কে নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
   • AA less than ogive is drawn by plotting cumulative frequencies against the lower class limits.ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ আঁকতে নিম্ন শ্রেণি-সীমার বিপরীতে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা স্থাপন করা হয়।
   • BA less than ogive always falls from left to right.ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ সর্বদা বাঁ দিক থেকে ডান দিকে নেমে যায়।
   • CAn ogive is drawn by plotting the frequencies against the class marks.শ্রেণি-মধ্যমানের বিপরীতে পরিসংখ্যা স্থাপন করে ওজাইভ আঁকা হয়।
   • DTo find the median from a less than ogive, mark n/2 on the cumulative frequency axis and read the abscissa of the matching point on the curve.ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ থেকে মধ্যমা পেতে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার অক্ষে n/2 চিহ্নিত করে লেখচিত্রের সংশ্লিষ্ট বিন্দুর ভুজ পড়া হয়।
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) To find the median from a less than ogive, mark n/2 on the cumulative frequency axis and read the abscissa of the matching point on the curve.

   The median has n/2 observations below it, so it is the abscissa of the point on the ogive at height n/2. A less than ogive uses upper class limits and rises from left to right (it never falls); plotting frequencies against class marks gives a frequency polygon, not an ogive.

   মধ্যমার নীচে n/2 সংখ্যক পর্যবেক্ষণ থাকে, তাই ওজাইভের যে বিন্দুর উচ্চতা n/2, তার ভুজই মধ্যমা। ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভে ঊর্ধ্ব শ্রেণি-সীমা নেওয়া হয় এবং লেখটি বাঁ দিক থেকে ডান দিকে ওঠে (কখনও নামে না); শ্রেণি-মধ্যমানের বিপরীতে পরিসংখ্যা বসালে পরিসংখ্যা বহুভুজ হয়, ওজাইভ নয়।
10. Q10medium

    The mean and the median of a distribution are 24 and 26 respectively. Using the relation among mean, median and mode, its mode is

    একটি বিভাজনের গড় ও মধ্যমা যথাক্রমে ২৪ ও ২৬। গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমানের সম্পর্ক ব্যবহার করে তার সংখ্যাগুরুমান
    • A30৩০
    • B20২০
    • C25২৫
    • D28২৮
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 30

    Mode = 3 Median − 2 Mean = 3 × 26 − 2 × 24 = 78 − 48 = 30. Swapping mean and median (3 × 24 − 2 × 26) gives the wrong value 20.

    সংখ্যাগুরুমান = 3 × মধ্যমা − 2 × গড় = 3 × 26 − 2 × 24 = 78 − 48 = 30। গড় ও মধ্যমা অদলবদল করলে (3 × 24 − 2 × 26) ভুল উত্তর ২০ আসে।
11. Q11hard

    The median of the distribution with classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 and frequencies 5, 9, 12, 8, 6 respectively is

    শ্রেণি ০–১০, ১০–২০, ২০–৩০, ৩০–৪০, ৪০–৫০ এবং পরিসংখ্যা যথাক্রমে ৫, ৯, ১২, ৮, ৬ — এই বিভাজনের মধ্যমা
    • A26২৬
    • B15১৫
    • C25২৫
    • D30৩০
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 25

    n = 40, so n/2 = 20. Cumulative frequencies are 5, 14, 26, 34, 40, so the median class is 20–30 with l = 20, cf = 14, f = 12, h = 10. Median = 20 + [(20 − 14)/12] × 10 = 20 + 5 = 25. Using the median class's own cf 26 instead of 14 gives 15.

    n = 40, তাই n/2 = 20। ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ৫, ১৪, ২৬, ৩৪, ৪০, তাই মধ্যমা শ্রেণি ২০–৩০, যেখানে l = 20, cf = 14, f = 12, h = 10। মধ্যমা = 20 + [(20 − 14)/12] × 10 = 20 + 5 = 25। আগের শ্রেণির cf ১৪-এর বদলে মধ্যমা শ্রেণির নিজের cf ২৬ নিলে ১৫ আসে।
12. Q12hard

    The mode of the distribution with classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 and frequencies 6, 10, 16, 12, 6 respectively is

    শ্রেণি ০–১০, ১০–২০, ২০–৩০, ৩০–৪০, ৪০–৫০ এবং পরিসংখ্যা যথাক্রমে ৬, ১০, ১৬, ১২, ৬ — এই বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান
    • A20.6২০.৬
    • B26২৬
    • C16১৬
    • D24২৪
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 26

    The modal class is 20–30 (highest frequency 16), so l = 20, f₁ = 16, f₀ = 10, f₂ = 12, h = 10. Mode = 20 + [(16 − 10)/(32 − 10 − 12)] × 10 = 20 + (6/10) × 10 = 26. Forgetting h gives 20.6, swapping f₀ and f₂ gives 24, and 16 is just the highest frequency.

    সর্বাধিক পরিসংখ্যা ১৬, তাই সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি ২০–৩০, যেখানে l = 20, f₁ = 16, f₀ = 10, f₂ = 12, h = 10। সংখ্যাগুরুমান = 20 + [(16 − 10)/(32 − 10 − 12)] × 10 = 20 + (6/10) × 10 = 26। h বাদ দিলে ২০.৬, f₀ ও f₂ অদলবদল করলে ২৪ আসে; ১৬ কেবল সর্বাধিক পরিসংখ্যা।

Want the full set? Practise all 12 Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode (রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান) questions →