Right Circular Cone (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু)

This chapter has

Right Circular Cone (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু) — quick revision notes

A right circular cone is the solid formed when a right-angled triangle is revolved about one of the sides containing the right angle; it has one curved surface and one plane circular base. With base radius r, height h and slant height l = √(r² + h²): curved surface area = πrl, total surface area = πr(l + r) and volume = (1/3)πr²h.

• A right circular cone has one curved surface and one plane surface (the circular base); a tent, an ice-cream cone, a birthday cap and a conical heap of grain are real-life examples.লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর একটি বক্রতল ও একটি সমতল (বৃত্তাকার ভূমি) আছে; তাঁবু, আইসক্রিমের কোন, জন্মদিনের টুপি ও শস্যের শঙ্কু আকৃতির স্তূপ এর বাস্তব উদাহরণ।
• Slant height l = √(r² + h²); r, h and l form a right-angled triangle, so l is always longer than both r and h.হেলানো উচ্চতা l = √(r² + h²); r, h ও l একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, তাই l সর্বদা r ও h উভয়ের থেকে বড়ো।
• Curved surface area = πrl square units.বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গএকক।
• Total surface area = curved surface + base = πrl + πr² = πr(l + r) square units.সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = বক্রতল + ভূমি = πrl + πr² = πr(l + r) বর্গএকক।
• Volume = (1/3)πr²h cubic units — one-third of the volume of a cylinder with the same base and height.আয়তন = (1/3)πr²h ঘনএকক — একই ভূমি ও উচ্চতাবিশিষ্ট চোঙের আয়তনের এক-তৃতীয়াংশ।
• Revolving a right-angled triangle about one side containing the right angle gives a cone: that side becomes the height, the other side containing the right angle becomes the radius and the hypotenuse becomes the slant height.সমকোণী ত্রিভুজকে সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহুকে অক্ষ করে ঘোরালে শঙ্কু তৈরি হয়: ওই বাহু হয় উচ্চতা, সমকোণ সংলগ্ন অপর বাহু হয় ব্যাসার্ধ এবং অতিভুজ হয় হেলানো উচ্চতা।
• Canvas for a tent or paper for a cap uses only the curved surface area; the base is open.তাঁবুর ক্যানভাস বা টুপির কাগজের জন্য কেবল বক্রতলের ক্ষেত্রফল লাগে; ভূমি খোলা থাকে।
• Take π = 22/7 unless told otherwise and keep units consistent (cm² or m² for area, cm³ or m³ for volume).অন্য কিছু বলা না থাকলে π = 22/7 ধরো এবং এককের সামঞ্জস্য রাখো (ক্ষেত্রফলে cm² বা m², আয়তনে cm³ বা m³)।

Exam tip: Cone is in the Mensuration part: the 1-mark MCQ, fill-in or true/false often asks the number of plane or curved surfaces, the cone–cylinder volume relation (1 : 3) or the effect of doubling the radius, 2-mark short answers find l, the curved surface area or the volume, and the longer Mensuration problem is usually a tent or conical-heap real-life sum — always find l = √(r² + h²) first.শঙ্কু পরিমিতি অংশের অধ্যায়: ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যায় প্রায়ই সমতল বা বক্রতলের সংখ্যা, শঙ্কু ও চোঙের আয়তনের সম্পর্ক (1 : 3) বা ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তনের পরিবর্তন জিজ্ঞাসা করা হয়; ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে l, বক্রতলের ক্ষেত্রফল বা আয়তন নির্ণয় করতে হয়, আর পরিমিতির বড়ো প্রশ্ন সাধারণত তাঁবু বা শঙ্কু আকৃতির স্তূপের বাস্তব সমস্যা — সবসময় আগে l = √(r² + h²) নির্ণয় করো।

Right Circular Cone (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   How many plane surfaces does a right circular cone have?

   একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর কয়টি সমতল আছে?
   • A0০টি
   • B1১টি
   • C2২টি
   • D3৩টি
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 1

   A cone has one plane surface (its circular base) and one curved surface. Two plane surfaces belong to a right circular cylinder.

   শঙ্কুর একটি সমতল (বৃত্তাকার ভূমি) এবং একটি বক্রতল আছে। দুটি সমতল থাকে লম্ব বৃত্তাকার চোঙের।
2. Q2easy

   If the base radius of a right circular cone is r, its height is h and its slant height is l, then l = ____.

   একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h এবং হেলানো উচ্চতা l হলে l = ____।
   • A√(h² − r²)√(h² − r²)
   • Br + hr + h
   • C√(r² + h²)√(r² + h²)
   • D√(r² − h²)√(r² − h²)
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) √(r² + h²)

   The height, the base radius and the slant height form a right-angled triangle with l as the hypotenuse, so l² = r² + h² and l = √(r² + h²).

   উচ্চতা, ভূমির ব্যাসার্ধ ও হেলানো উচ্চতা একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যার অতিভুজ l; তাই l² = r² + h² এবং l = √(r² + h²)।
3. Q3easy

   Which of the following statements is correct?

   নীচের কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AThe curved surface area of a right circular cone is πrh.লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল πrh।
   • BThe slant height of a cone is always less than its height.শঙ্কুর হেলানো উচ্চতা সর্বদা তার উচ্চতার থেকে ছোটো।
   • CA right circular cone has two plane surfaces.লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর দুটি সমতল আছে।
   • DThe volume of a cone is one-third of the volume of a cylinder with the same base radius and height.একই ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতাবিশিষ্ট চোঙের আয়তনের এক-তৃতীয়াংশ হল শঙ্কুর আয়তন।
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) The volume of a cone is one-third of the volume of a cylinder with the same base radius and height.

   Volume of a cone = (1/3)πr²h, one-third of the cylinder's πr²h. The curved surface area is πrl (not πrh), the slant height is the hypotenuse so it is longer than the height, and a cone has only one plane surface.

   শঙ্কুর আয়তন = (1/3)πr²h, যা চোঙের আয়তন πr²h-এর এক-তৃতীয়াংশ। বক্রতলের ক্ষেত্রফল πrl (πrh নয়), হেলানো উচ্চতা অতিভুজ বলে উচ্চতার থেকে বড়ো, আর শঙ্কুর সমতল কেবল একটি।
4. Q4easy

   Which of the following objects is shaped like a right circular cone?

   নীচের কোন বস্তুটির আকার লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর মতো?
   • AA birthday capজন্মদিনের টুপি
   • BA cricket ballক্রিকেট বল
   • CA matchboxদেশলাই বাক্স
   • DA water pipeজলের পাইপ
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) A birthday cap

   A birthday cap has an open circular base and narrows to a single point (the vertex), like a cone. A ball is a sphere, a matchbox is a cuboid and a pipe is a hollow cylinder.

   জন্মদিনের টুপির ভূমি বৃত্তাকার ও খোলা, আর টুপিটি উপরের দিকে সরু হয়ে একটি বিন্দুতে (শীর্ষবিন্দুতে) মিশেছে, ঠিক শঙ্কুর মতো। বল হল গোলক, দেশলাই বাক্স আয়তঘন এবং পাইপ হল ফাঁপা চোঙ।
5. Q5medium

   The base radius of a right circular cone is 6 cm and its height is 8 cm. What is its curved surface area?

   একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ ৬ cm এবং উচ্চতা ৮ cm। এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
   • A48π cm²48π cm²
   • B96π cm²96π cm²
   • C36π cm²36π cm²
   • D60π cm²60π cm²
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 60π cm²

   l = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm, so curved surface area = πrl = π × 6 × 10 = 60π cm². 48π uses h instead of l, and 96π is the total surface area.

   l = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm, তাই বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = π × 6 × 10 = 60π cm²। l-এর বদলে h বসালে 48π আসে, আর 96π হল সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল।
6. Q6medium

   What is the volume of a right circular cone of base radius 7 cm and height 12 cm? (Take π = 22/7)

   ৭ cm ভূমির ব্যাসার্ধ ও ১২ cm উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন কত? (π = 22/7 ধরো)
   • A1848 cm³১৮৪৮ cm³
   • B616 cm³৬১৬ cm³
   • C308 cm³৩০৮ cm³
   • D924 cm³৯২৪ cm³
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 616 cm³

   Volume = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 12 = 22 × 7 × 4 = 616 cm³. Forgetting the 1/3 gives 1848 cm³, the volume of the cylinder.

   আয়তন = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 12 = 22 × 7 × 4 = 616 cm³। 1/3 গুণ করতে ভুলে গেলে চোঙের আয়তন ১৮৪৮ cm³ আসে।
7. Q7medium

   The base radius of a right circular cone is 14 cm and its slant height is 20 cm. What is its total surface area? (Take π = 22/7)

   একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ ১৪ cm এবং হেলানো উচ্চতা ২০ cm। এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত? (π = 22/7 ধরো)
   • A880 cm²৮৮০ cm²
   • B2112 cm²২১১২ cm²
   • C1496 cm²১৪৯৬ cm²
   • D616 cm²৬১৬ cm²
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 1496 cm²

   Total surface area = πr(l + r) = (22/7) × 14 × (20 + 14) = 44 × 34 = 1496 cm². 880 cm² is only the curved surface and 616 cm² only the base.

   সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(l + r) = (22/7) × 14 × (20 + 14) = 44 × 34 = 1496 cm²। ৮৮০ cm² কেবল বক্রতলের এবং ৬১৬ cm² কেবল ভূমির ক্ষেত্রফল।
8. Q8medium

   The curved surface area of a right circular cone is 440 cm² and its base radius is 7 cm. What is its slant height? (Take π = 22/7)

   একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল ৪৪০ cm² এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ৭ cm। এর হেলানো উচ্চতা কত? (π = 22/7 ধরো)
   • A20 cm২০ cm
   • B10 cm১০ cm
   • C40 cm৪০ cm
   • D14 cm১৪ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 20 cm

   πrl = 440 gives (22/7) × 7 × l = 440, i.e. 22l = 440, so l = 20 cm.

   πrl = 440 থেকে (22/7) × 7 × l = 440, অর্থাৎ 22l = 440, তাই l = 20 cm।
9. Q9medium

   If the base radius of a right circular cone is doubled and its height is kept the same, its volume becomes ____ times.

   একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা একই রেখে ভূমির ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তন ____ গুণ হবে।
   • A2২
   • B8৮
   • C4৪
   • D1/21/2
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 4

   With h fixed, volume ∝ r²: (1/3)π(2r)²h = 4 × (1/3)πr²h, so the volume becomes 4 times, not 2 times.

   h অপরিবর্তিত থাকলে আয়তন ∝ r²: (1/3)π(2r)²h = 4 × (1/3)πr²h, তাই আয়তন ৪ গুণ হবে, ২ গুণ নয়।
10. Q10medium

    A conical tent has a base radius of 21 m and a height of 20 m. How much canvas is needed to make it, ignoring wastage? (Take π = 22/7)

    শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ ২১ m এবং উচ্চতা ২০ m। অপচয় বাদ দিলে তাঁবুটি তৈরি করতে কত ক্যানভাস লাগবে? (π = 22/7 ধরো)
    • A1320 m²১৩২০ m²
    • B3300 m²৩৩০০ m²
    • C9240 m²৯২৪০ m²
    • D1914 m²১৯১৪ m²
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 1914 m²

    Slant height l = √(21² + 20²) = √841 = 29 m. Canvas = curved surface area = πrl = (22/7) × 21 × 29 = 66 × 29 = 1914 m². The base is the ground, so its area is not added (adding it gives 3300 m²).

    হেলানো উচ্চতা l = √(21² + 20²) = √841 = 29 m। ক্যানভাস = বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = (22/7) × 21 × 29 = 66 × 29 = 1914 m²। ভূমি হল মাটি, তাই তার ক্ষেত্রফল যোগ হবে না (যোগ করলে ৩৩০০ m² আসে)।
11. Q11hard

    The volume of a right circular cone is 1232 cm³ and its height is 24 cm. What is its curved surface area? (Take π = 22/7)

    একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন ১২৩২ cm³ এবং উচ্চতা ২৪ cm। এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত? (π = 22/7 ধরো)
    • A550 cm²৫৫০ cm²
    • B704 cm²৭০৪ cm²
    • C528 cm²৫২৮ cm²
    • D154 cm²১৫৪ cm²
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 550 cm²

    (1/3) × (22/7) × r² × 24 = 1232 gives r² = 49, so r = 7 cm. Then l = √(7² + 24²) = √625 = 25 cm and curved surface area = (22/7) × 7 × 25 = 550 cm². Using h instead of l gives 528 cm².

    (1/3) × (22/7) × r² × 24 = 1232 থেকে r² = 49, তাই r = 7 cm। তাহলে l = √(7² + 24²) = √625 = 25 cm এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (22/7) × 7 × 25 = 550 cm²। l-এর বদলে h বসালে ৫২৮ cm² আসে।
12. Q12hard

    A right-angled triangle has sides 6 cm, 8 cm and 10 cm. It is revolved once completely about its side of 8 cm. What is the volume of the cone so formed?

    একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য ৬ cm, ৮ cm ও ১০ cm। ত্রিভুজটিকে ৮ cm দৈর্ঘ্যের বাহুকে অক্ষ করে একবার সম্পূর্ণ ঘোরানো হল। উৎপন্ন শঙ্কুর আয়তন কত?
    • A128π cm³128π cm³
    • B96π cm³96π cm³
    • C288π cm³288π cm³
    • D60π cm³60π cm³
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 96π cm³

    The 8 cm side becomes the height and the other side of the right angle, 6 cm, becomes the radius (10 cm is the slant height). Volume = (1/3)π × 6² × 8 = 96π cm³. Revolving about the 6 cm side would give 128π cm³.

    ৮ cm বাহুটি হয় উচ্চতা এবং সমকোণ সংলগ্ন অপর বাহু ৬ cm হয় ব্যাসার্ধ (১০ cm হল হেলানো উচ্চতা)। আয়তন = (1/3)π × 6² × 8 = 96π cm³। ৬ cm বাহুকে অক্ষ করে ঘোরালে 128π cm³ আসত।

Want the full set? Practise all 12 Right Circular Cone (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু) questions →