Madhyamik 2027 (WBBSE) · Mathematics (গণিত)

Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য)

12 practice questions with full step-by-step solutions, quick revision notes — free, no sign-up.

Content reviewed by Kaustav Basak, Founder · Report a mistake

Practise · 12 questions

This chapter has

4
easy
6
medium
2
hard

Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) — quick revision notes

An arc of a circle subtends only one angle at the centre but infinitely many angles at points on the rest of the circle. This chapter proves three theorems — the angle at the centre is twice the angle in the circle on the same arc, angles in the same segment are equal, and the angle in a semicircle is a right angle — and uses the condition for four points to be concyclic.

বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে একটিমাত্র কোণ উৎপন্ন করে, কিন্তু বৃত্তের বাকি অংশের বিন্দুগুলিতে অসংখ্য বৃত্তস্থ কোণ উৎপন্ন করে। এই অধ্যায়ে তিনটি উপপাদ্য প্রমাণ করা হয় — একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ, একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলি সমান এবং অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ — এবং চারটি বিন্দু সমবৃত্তস্থ হওয়ার শর্ত প্রয়োগ করা হয়।
  • Angle at the centre: the angle formed at the centre by the two radii drawn to the ends of an arc. Angle in the circle (inscribed angle): the angle formed at a point on the circle by the two chords drawn to the ends of the arc.কেন্দ্রস্থ কোণ: কোনো চাপের দুই প্রান্তবিন্দুর সঙ্গে কেন্দ্রের সংযোগকারী দুটি ব্যাসার্ধ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তস্থ কোণ: চাপের দুই প্রান্তবিন্দুর সঙ্গে বৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুর সংযোগকারী দুটি জ্যা ওই বিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে।
  • Theorem: the angle subtended by an arc at the centre is twice the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle (∠AOB = 2∠APB).উপপাদ্য: বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা বৃত্তের বাকি অংশের যে-কোনো বিন্দুতে ওই চাপের দ্বারা উৎপন্ন কোণের দ্বিগুণ (∠AOB = 2∠APB)।
  • Theorem: angles in the same segment of a circle are equal.উপপাদ্য: একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণ পরস্পর সমান।
  • Theorem: the angle in a semicircle is a right angle — a diameter subtends 90° at every other point of the circle.উপপাদ্য: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ — ব্যাস বৃত্তের অন্য যে-কোনো বিন্দুতে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।
  • Converse: if a chord subtends a right angle at a point on the circle, the chord is a diameter.বিপরীত উপপাদ্য: কোনো জ্যা বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটি ওই বৃত্তের ব্যাস।
  • The angle in a segment greater than a semicircle is acute; the angle in a segment less than a semicircle is obtuse.অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ সূক্ষ্মকোণ এবং অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ।
  • Condition for four points to be concyclic (no proof): if the line segment joining two points subtends equal angles at two other points on the same side of it, the four points lie on a circle.চারটি বিন্দু সমবৃত্তস্থ হওয়ার শর্ত (প্রমাণ নেই): দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পার্শ্বে অবস্থিত অপর দুটি বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
  • Radii are equal, so a triangle formed by two radii and a chord is isosceles; e.g. if A lies on the major arc BC, then ∠OBC = 90° − ∠BAC.একই বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলি সমান, তাই দুটি ব্যাসার্ধ ও একটি জ্যা দিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু; যেমন A বিন্দু BC-এর অধিচাপের উপর থাকলে ∠OBC = 90° − ∠BAC।

Common mistakes to avoid

  • Halving the wrong angle: the angle in the circle is half the angle at the centre, not twice it.
  • When the point lies on the minor arc, use the reflex angle at the centre (360° − ∠AOB): with ∠AOB = 100° the angle is 130°, not 50°.
  • Angles are equal only when the points lie in the same segment (on the same side of the chord).
  • Forgetting that OA = OB, so the base angles of triangle OAB are equal.

Exam tip: In the objective section Geometry gets one MCQ, one fill in the blank and one true/false — often on the angle at the centre, the angle in a semicircle or angles in the same segment. Short answers ask you to find unknown angles, and the proof of any of the three theorems can come as a long answer, so practise each proof with a neat figure.বস্তুনিষ্ঠ অংশে জ্যামিতি থেকে একটি MCQ, একটি শূন্যস্থান পূরণ ও একটি সত্য/মিথ্যা আসে — প্রায়ই কেন্দ্রস্থ কোণ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বা একই বৃত্তাংশস্থ কোণ নিয়ে। সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে অজানা কোণের মান নির্ণয় করতে হয়, এবং বড়ো প্রশ্নে তিনটি উপপাদ্যের যে-কোনোটির প্রমাণ আসতে পারে, তাই পরিষ্কার চিত্রসহ প্রতিটি প্রমাণ অনুশীলন করো।

Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

  1. Q1easy

    O is the centre of a circle and arc AB subtends ∠AOB = 80° at the centre. If P is a point on the remaining part of the circle, then ∠APB = ____.

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB চাপ কেন্দ্রে ∠AOB = 80° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের বাকি অংশে P যে-কোনো একটি বিন্দু হলে ∠APB = ____।
    • A40°৪০°
    • B80°৮০°
    • C160°১৬০°
    • D100°১০০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 40°

    The angle at the centre is twice the angle in the circle on the same arc, so ∠APB = 80° ÷ 2 = 40°. Trap: 160° doubles the angle instead of halving it.

    একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ, তাই ∠APB = 80° ÷ 2 = 40°। সাবধান: অর্ধেক না করে দ্বিগুণ করলে ১৬০° আসে, যা ভুল।
  2. Q2easy

    The angle in a semicircle is ____.

    অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ____।
    • Aan acute angleসূক্ষ্মকোণ
    • Ba right angleসমকোণ
    • Can obtuse angleস্থূলকোণ
    • Da straight angleসরলকোণ
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) a right angle

    A diameter makes a straight angle (180°) at the centre, so the angle it subtends at any point on the circle is 180° ÷ 2 = 90°, a right angle.

    ব্যাস কেন্দ্রে সরলকোণ (180°) উৎপন্ন করে, তাই বৃত্তের উপর যে-কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ 180° ÷ 2 = 90°, অর্থাৎ সমকোণ।
  3. Q3easy

    Which of the following statements is correct?

    নীচের কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • AThe angle at the centre is half the angle in the circle on the same arc.একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক।
    • BAngles in the same segment of a circle are supplementary.একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
    • CAny four points in a plane always lie on one circle.সমতলের যে-কোনো চারটি বিন্দু সর্বদা একই বৃত্তের উপর থাকে।
    • DAngles in the same segment of a circle are equal.একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলি পরস্পর সমান।
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) Angles in the same segment of a circle are equal.

    Angles in the same segment stand on the same arc, so each is half the same angle at the centre — hence they are equal. The angle at the centre is twice (not half) the angle in the circle, and four points are concyclic only under a special condition.

    একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলি একই চাপের উপর দণ্ডায়মান, তাই প্রত্যেকটি একই কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক — ফলে তারা সমান। কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ (অর্ধেক নয়), এবং চারটি বিন্দু কেবল বিশেষ শর্তে সমবৃত্তস্থ হয়।
  4. Q4easy

    An arc of a circle subtends ____ angle(s) at the centre and ____ angle(s) at points on the rest of the circle.

    বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে ____ কোণ এবং বৃত্তের বাকি অংশের বিন্দুগুলিতে ____ কোণ উৎপন্ন করে।
    • Aone; oneএকটি; একটি
    • Binfinitely many; oneঅসংখ্য; একটি
    • Cone; infinitely manyএকটি; অসংখ্য
    • Dtwo; infinitely manyদুটি; অসংখ্য
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) one; infinitely many

    A circle has only one centre, so an arc makes exactly one angle at the centre; but every point on the remaining part of the circle gives an angle in the circle, so there are infinitely many such angles — and they are all equal.

    বৃত্তের কেন্দ্র একটিই, তাই চাপটি কেন্দ্রে একটিমাত্র কোণ উৎপন্ন করে; কিন্তু বৃত্তের বাকি অংশের প্রতিটি বিন্দুতে একটি করে বৃত্তস্থ কোণ হয়, তাই এমন কোণ অসংখ্য — এবং সেগুলি সবই সমান।
  5. Q5medium

    AB is a diameter of a circle and C is a point on the circle. If ∠CAB = 35°, then ∠CBA = ____.

    AB একটি বৃত্তের ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠CAB = 35° হলে ∠CBA = ____।
    • A35°৩৫°
    • B45°৪৫°
    • C55°৫৫°
    • D90°৯০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 55°

    ∠ACB is an angle in a semicircle, so ∠ACB = 90°. In triangle ABC, ∠CBA = 180° − 90° − 35° = 55°.

    ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই ∠ACB = 90°। ABC ত্রিভুজে ∠CBA = 180° − 90° − 35° = 55°।
  6. Q6medium

    O is the centre of a circle, and A and D are points on the circle on the same side of chord BC. If ∠BAC = 48°, then ∠BOC + ∠BDC = ____.

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC জ্যা-এর একই পার্শ্বে বৃত্তের উপর A ও D দুটি বিন্দু। ∠BAC = 48° হলে ∠BOC + ∠BDC = ____।
    • A144°১৪৪°
    • B96°৯৬°
    • C72°৭২°
    • D120°১২০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 144°

    ∠BDC = ∠BAC = 48° (angles in the same segment) and ∠BOC = 2∠BAC = 96° (angle at the centre), so the sum is 96° + 48° = 144°. Trap: 72° comes from halving ∠BAC instead of doubling it.

    ∠BDC = ∠BAC = 48° (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ) এবং ∠BOC = 2∠BAC = 96° (কেন্দ্রস্থ কোণ), তাই যোগফল = 96° + 48° = 144°। সাবধান: ∠BAC-কে দ্বিগুণ না করে অর্ধেক করলে ৭২° আসে।
  7. Q7medium

    O is the centre of a circle, AB is a chord and C is a point on the major arc AB. If ∠OAB = 25°, then ∠ACB = ____.

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB একটি জ্যা এবং C বিন্দুটি AB-এর অধিচাপের উপর অবস্থিত। ∠OAB = 25° হলে ∠ACB = ____।
    • A50°৫০°
    • B65°৬৫°
    • C130°১৩০°
    • D115°১১৫°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 65°

    OA = OB (radii), so ∠OBA = ∠OAB = 25° and ∠AOB = 180° − 50° = 130°. Then ∠ACB = 130° ÷ 2 = 65°.

    OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই ∠OBA = ∠OAB = 25° এবং ∠AOB = 180° − 50° = 130°। সুতরাং ∠ACB = 130° ÷ 2 = 65°।
  8. Q8medium

    A, B, C, D are four points such that C and D lie on the same side of AB, and ∠ACB = ∠ADB = 50°. Which of the following must be true?

    A, B, C, D চারটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে C ও D, AB-এর একই পার্শ্বে আছে এবং ∠ACB = ∠ADB = 50°। নীচের কোনটি অবশ্যই সত্য?
    • AABCD is a parallelogram.ABCD একটি সামান্তরিক।
    • BAB is a diameter of the circle through A, B and C.A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাস AB।
    • CCD is parallel to AB.CD ও AB পরস্পর সমান্তরাল।
    • DA, B, C and D are concyclic.A, B, C ও D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) A, B, C and D are concyclic.

    Segment AB subtends equal angles at C and D, which lie on the same side of AB, so A, B, C, D lie on one circle (concyclic). AB would be a diameter only if these angles were 90°, and ABCD may or may not be a parallelogram or have CD ∥ AB — those are not guaranteed.

    AB রেখাংশ তার একই পার্শ্বে অবস্থিত C ও D বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করেছে, তাই A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। কোণ দুটি ৯০° হলে তবেই AB ব্যাস হতো, আর ABCD সামান্তরিক হবে বা CD ∥ AB হবে — এমন কোনো নিশ্চয়তা নেই।
  9. Q9medium

    AB is a diameter of a circle and C is a point on the circle such that ∠CAB : ∠CBA = 2 : 3. Then ∠CBA = ____.

    AB বৃত্তের একটি ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দু যে ∠CAB : ∠CBA = 2 : 3। তাহলে ∠CBA = ____।
    • A36°৩৬°
    • B60°৬০°
    • C72°৭২°
    • D54°৫৪°
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 54°

    ∠ACB = 90° (angle in a semicircle), so ∠CAB + ∠CBA = 90°. Dividing 90° in the ratio 2 : 3 gives 36° and 54°, so ∠CBA = 54°. Trap: 36° is ∠CAB, not ∠CBA.

    ∠ACB = 90° (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ), তাই ∠CAB + ∠CBA = 90°। 90°-কে 2 : 3 অনুপাতে ভাগ করলে 36° ও 54° হয়, তাই ∠CBA = 54°। সাবধান: ৩৬° হলো ∠CAB, ∠CBA নয়।
  10. Q10medium

    The angle in a segment greater than a semicircle is ____.

    অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ ____।
    • Aan acute angleসূক্ষ্মকোণ
    • Ba right angleসমকোণ
    • Can obtuse angleস্থূলকোণ
    • Da reflex angleপ্রবৃদ্ধ কোণ
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) an acute angle

    An angle in the greater segment stands on the minor arc, whose angle at the centre is less than 180°; half of it is less than 90°, so the angle is acute. The angle in a segment smaller than a semicircle is obtuse.

    বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ ক্ষুদ্রতর চাপের উপর দণ্ডায়মান, যার কেন্দ্রস্থ কোণ 180°-এর কম; তার অর্ধেক 90°-এর কম, তাই কোণটি সূক্ষ্মকোণ। অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ হয়।
  11. Q11hard

    O is the centre of a circle and ∠AOB = 100°. If P is a point on the minor arc AB, then ∠APB = ____.

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ∠AOB = 100°। P বিন্দুটি AB উপচাপের উপর অবস্থিত হলে ∠APB = ____।
    • A50°৫০°
    • B130°১৩০°
    • C100°১০০°
    • D260°২৬০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 130°

    ∠APB stands on the major arc AB, whose angle at the centre is the reflex angle 360° − 100° = 260°. So ∠APB = 260° ÷ 2 = 130°. Trap: 50° is the angle at a point on the major arc.

    ∠APB অধিচাপ AB-এর উপর দণ্ডায়মান, যার কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ 360° − 100° = 260°। তাই ∠APB = 260° ÷ 2 = 130°। সাবধান: ৫০° হলো অধিচাপের উপর কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ।
  12. Q12hard

    Chords AC and BD of a circle intersect at E inside the circle. If ∠BAC = 35° and ∠AEB = 105°, then ∠ACD = ____.

    একটি বৃত্তের AC ও BD জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে ছেদ করে। ∠BAC = 35° এবং ∠AEB = 105° হলে ∠ACD = ____।
    • A35°৩৫°
    • B70°৭০°
    • C40°৪০°
    • D105°১০৫°
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 40°

    In triangle ABE, ∠ABE = 180° − 35° − 105° = 40°, i.e. ∠ABD = 40°. ∠ACD and ∠ABD are angles in the same segment on chord AD, so ∠ACD = 40°. Trap: 35° is ∠BDC (the same-segment partner of ∠BAC), not ∠ACD.

    ABE ত্রিভুজে ∠ABE = 180° − 35° − 105° = 40°, অর্থাৎ ∠ABD = 40°। ∠ACD ও ∠ABD উভয়েই AD জ্যা-এর একই বৃত্তাংশস্থ কোণ, তাই ∠ACD = 40°। সাবধান: ৩৫° হলো ∠BDC-এর মান (∠BAC-এর সঙ্গে একই বৃত্তাংশস্থ), ∠ACD-এর নয়।

Want the full set? Practise all 12 Theorems related to Angles in a Circle (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য) questions →

← All Mathematics (গণিত) chapters