Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি)

This chapter has

Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) — quick revision notes

For an acute angle θ of a right-angled triangle, the six trigonometric ratios compare its sides: sin, cos, tan and their reciprocals cosec, sec, cot. The ratios depend only on the angle, are linked by the identities sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ − tan²θ = 1 and cosec²θ − cot²θ = 1, and have standard values at 0°, 30°, 45°, 60° and 90°. They are used to find sides of right triangles and to eliminate θ from a pair of equations.

• sin θ = perpendicular/hypotenuse, cos θ = base/hypotenuse, tan θ = perpendicular/base (sides taken with respect to θ).sin θ = লম্ব/অতিভুজ, cos θ = ভূমি/অতিভুজ, tan θ = লম্ব/ভূমি (বাহুগুলি θ কোণের সাপেক্ষে ধরতে হবে)।
• cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ; tan θ = sin θ/cos θ and cot θ = cos θ/sin θ.cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ; tan θ = sin θ/cos θ এবং cot θ = cos θ/sin θ।
• Identities: sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ − tan²θ = 1, cosec²θ − cot²θ = 1.অভেদ: sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ − tan²θ = 1, cosec²θ − cot²θ = 1।
• sin of 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1; the cos values are the same in reverse order.0°, 30°, 45°, 60°, 90° কোণের sin-এর মান যথাক্রমে 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1; cos-এর মানগুলি একই, কিন্তু বিপরীত ক্রমে।
• tan of 0°, 30°, 45°, 60° = 0, 1/√3, 1, √3, and tan 90° is not defined; cot 0° and cosec 0° are also not defined.0°, 30°, 45°, 60° কোণের tan-এর মান যথাক্রমে 0, 1/√3, 1, √3 এবং tan 90° অসংজ্ঞাত; cot 0° ও cosec 0°-ও অসংজ্ঞাত।
• For acute θ, 0 < sin θ < 1 and 0 < cos θ < 1, while sec θ > 1 and cosec θ > 1; tan θ can take any positive value.সূক্ষ্মকোণ θ-এর ক্ষেত্রে 0 < sin θ < 1 এবং 0 < cos θ < 1, কিন্তু sec θ > 1 ও cosec θ > 1; tan θ যে-কোনো ধনাত্মক মান নিতে পারে।
• (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = sec²θ − tan²θ = 1, so knowing one of them gives the other.(sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = sec²θ − tan²θ = 1, তাই একটির মান জানলে অন্যটি পাওয়া যায়।
• To eliminate θ, make sin θ, cos θ, sec θ, tan θ etc. the subject and apply an identity, e.g. x = a sec θ, y = b tan θ gives x²/a² − y²/b² = 1.θ অপনয়ন করতে sin θ, cos θ, sec θ, tan θ ইত্যাদিকে আলাদা করে একটি অভেদ প্রয়োগ করো, যেমন x = a sec θ, y = b tan θ হলে x²/a² − y²/b² = 1।

Exam tip: The Trigonometry branch gets one MCQ, one fill in the blank and one true/false (1 mark each), often on standard values or on limits such as whether sin θ = 4/3 is possible. 2-mark short answers evaluate expressions or use one identity, and long answers ask you to prove identities or eliminate θ, so write the identity you use at every step.ত্রিকোণমিতি শাখা থেকে একটি MCQ, একটি শূন্যস্থান পূরণ ও একটি সত্য/মিথ্যা (প্রতিটি ১ নম্বর) আসে, প্রায়ই নির্দিষ্ট কোণের মান বা অনুপাতের সীমা নিয়ে (যেমন sin θ = 4/3 সম্ভব কি না)। ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে রাশির মান নির্ণয় বা একটি অভেদের প্রয়োগ এবং দীর্ঘ প্রশ্নে অভেদ প্রমাণ বা θ অপনয়ন আসে, তাই প্রতিটি ধাপে কোন অভেদ ব্যবহার করছ তা লিখবে।

Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   If sin θ = 3/5 (θ is an acute angle), then cos θ =

   sin θ = 3/5 হলে (θ সূক্ষ্মকোণ) cos θ-এর মান
   • A3/4৩/৪
   • B5/4৫/৪
   • C4/5৪/৫
   • D5/3৫/৩
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 4/5

   cos θ = √(1 − sin²θ) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5. (Perpendicular 3, hypotenuse 5, so base 4.)

   cos θ = √(1 − sin²θ) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5। (লম্ব ৩, অতিভুজ ৫, তাই ভূমি ৪।)
2. Q2easy

   Match the columns. Left: (a) tan 45°, (b) cos 90°, (c) sec 60°. Right: (i) 0, (ii) 1, (iii) 2.

   বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) tan 45°, (b) cos 90°, (c) sec 60°। ডানস্তম্ভ: (i) ০, (ii) ১, (iii) ২।
   • Aa-i, b-ii, c-iiia-i, b-ii, c-iii
   • Ba-ii, b-i, c-iiia-ii, b-i, c-iii
   • Ca-iii, b-i, c-iia-iii, b-i, c-ii
   • Da-ii, b-iii, c-ia-ii, b-iii, c-i
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) a-ii, b-i, c-iii

   tan 45° = 1, cos 90° = 0 and sec 60° = 1/cos 60° = 1/(1/2) = 2, so a-ii, b-i, c-iii.

   tan 45° = 1, cos 90° = 0 এবং sec 60° = 1/cos 60° = 1/(1/2) = 2, তাই a-ii, b-i, c-iii।
3. Q3easy

   Fill in the blank: For every θ for which sec θ and tan θ are defined, sec²θ − tan²θ = ____.

   শূন্যস্থান পূরণ করো: sec θ ও tan θ সংজ্ঞাত এমন সকল θ-এর জন্য sec²θ − tan²θ = ____।
   • A0০
   • B−1−১
   • C2২
   • D1১
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 1

   Dividing sin²θ + cos²θ = 1 by cos²θ gives tan²θ + 1 = sec²θ, so sec²θ − tan²θ = 1.

   sin²θ + cos²θ = 1-কে cos²θ দিয়ে ভাগ করলে tan²θ + 1 = sec²θ, তাই sec²θ − tan²θ = 1।
4. Q4easy

   In ΔABC, ∠B = 90°. Then tan A =

   ΔABC-এর ∠B = 90° হলে tan A =
   • ABC/ACBC/AC
   • BAB/ACAB/AC
   • CBC/ABBC/AB
   • DAB/BCAB/BC
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) BC/AB

   With respect to angle A, the perpendicular (opposite side) is BC and the base (adjacent side) is AB, so tan A = BC/AB. BC/AC is sin A.

   A কোণের সাপেক্ষে লম্ব (বিপরীত বাহু) BC এবং ভূমি (সংলগ্ন বাহু) AB, তাই tan A = BC/AB। BC/AC হল sin A।
5. Q5medium

   Which statement is correct?

   কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • Asin θ = 4/3 for some acute angle θ.কোনো সূক্ষ্মকোণ θ-এর জন্য sin θ = 4/3 হতে পারে।
   • BThe value of tan 90° is not defined.tan 90°-এর মান অসংজ্ঞাত।
   • Csec θ = 1/2 for some acute angle θ.কোনো সূক্ষ্মকোণ θ-এর জন্য sec θ = 1/2 হতে পারে।
   • Dsin 60° = 2 sin 30°.sin 60° = 2 sin 30°।
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) The value of tan 90° is not defined.

   tan 90° = sin 90°/cos 90° = 1/0, which is not defined. For acute θ, sin θ < 1 and sec θ > 1; and sin 60° = √3/2 while 2 sin 30° = 1.

   tan 90° = sin 90°/cos 90° = 1/0, যা অসংজ্ঞাত। সূক্ষ্মকোণ θ-এর জন্য sin θ < 1 ও sec θ > 1; আবার sin 60° = √3/2 কিন্তু 2 sin 30° = 1।
6. Q6medium

   The value of 2 sin²30° + 3 tan²60° − cos²45° is

   2 sin²30° + 3 tan²60° − cos²45°-এর মান
   • A9৯
   • B8৮
   • C19/2১৯/২
   • D17/2১৭/২
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 9

   = 2 × (1/2)² + 3 × (√3)² − (1/√2)² = 1/2 + 9 − 1/2 = 9.

   = 2 × (1/2)² + 3 × (√3)² − (1/√2)² = 1/2 + 9 − 1/2 = 9।
7. Q7medium

   If tan θ = 5/12 (θ is an acute angle), then sin θ + cos θ =

   tan θ = 5/12 হলে (θ সূক্ষ্মকোণ) sin θ + cos θ-এর মান
   • A7/13৭/১৩
   • B17/12১৭/১২
   • C13/17১৩/১৭
   • D17/13১৭/১৩
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 17/13

   Take perpendicular 5 and base 12; hypotenuse = √(25 + 144) = 13. So sin θ = 5/13, cos θ = 12/13 and their sum is 17/13.

   লম্ব ৫ ও ভূমি ১২ ধরলে অতিভুজ = √(25 + 144) = 13। তাই sin θ = 5/13, cos θ = 12/13 এবং এদের যোগফল 17/13।
8. Q8medium

   If sec θ + tan θ = 2, then sec θ − tan θ =

   sec θ + tan θ = 2 হলে sec θ − tan θ-এর মান
   • A2২
   • B1/2১/২
   • C−2−২
   • D1১
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 1/2

   (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = sec²θ − tan²θ = 1, so sec θ − tan θ = 1/2.

   (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = sec²θ − tan²θ = 1, তাই sec θ − tan θ = 1/2।
9. Q9medium

   Eliminating θ from x = 3 cos θ and y = 3 sin θ gives

   x = 3 cos θ এবং y = 3 sin θ থেকে θ অপনয়ন করলে পাওয়া যায়
   • Ax² + y² = 9x² + y² = 9
   • Bx² − y² = 9x² − y² = 9
   • Cx + y = 3x + y = 3
   • Dx² + y² = 3x² + y² = 3
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) x² + y² = 9

   x² + y² = 9 cos²θ + 9 sin²θ = 9(cos²θ + sin²θ) = 9.

   x² + y² = 9 cos²θ + 9 sin²θ = 9(cos²θ + sin²θ) = 9।
10. Q10medium

    In ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 30° and AB = 10 cm. The length of BC is

    ΔABC-এর ∠C = 90°, ∠A = 30° এবং AB = 10 cm হলে BC-এর দৈর্ঘ্য
    • A5√3 cm5√3 cm
    • B10√3 cm10√3 cm
    • C20 cm২০ cm
    • D5 cm৫ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 5 cm

    AB is the hypotenuse and BC is opposite ∠A, so BC = AB sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm. 5√3 cm is AC (= AB cos 30°).

    AB অতিভুজ এবং BC হল ∠A-এর বিপরীত বাহু, তাই BC = AB sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm। 5√3 cm হল AC (= AB cos 30°)।
11. Q11hard

    Eliminating θ from x = 2 sec θ and y = 3 tan θ gives

    x = 2 sec θ এবং y = 3 tan θ থেকে θ অপনয়ন করলে পাওয়া যায়
    • A9x² − 4y² = 369x² − 4y² = 36
    • B4x² − 9y² = 364x² − 9y² = 36
    • C9x² + 4y² = 369x² + 4y² = 36
    • D9x² − 4y² = 19x² − 4y² = 1
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 9x² − 4y² = 36

    sec θ = x/2 and tan θ = y/3. Using sec²θ − tan²θ = 1: x²/4 − y²/9 = 1; multiplying by 36 gives 9x² − 4y² = 36.

    sec θ = x/2 এবং tan θ = y/3। sec²θ − tan²θ = 1 প্রয়োগ করে x²/4 − y²/9 = 1; উভয়পক্ষকে 36 দিয়ে গুণ করলে 9x² − 4y² = 36।
12. Q12hard

    If sin θ + cos θ = √2 cos θ (θ is an acute angle), then cot θ =

    sin θ + cos θ = √2 cos θ হলে (θ সূক্ষ্মকোণ) cot θ-এর মান
    • A√2 − 1√2 − 1
    • B1১
    • C√2 + 1√2 + 1
    • D√2√2
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) √2 + 1

    sin θ = (√2 − 1) cos θ, so tan θ = √2 − 1 and cot θ = 1/(√2 − 1) = (√2 + 1)/[(√2 − 1)(√2 + 1)] = √2 + 1. √2 − 1 is tan θ, not cot θ.

    sin θ = (√2 − 1) cos θ, তাই tan θ = √2 − 1 এবং cot θ = 1/(√2 − 1) = (√2 + 1)/[(√2 − 1)(√2 + 1)] = √2 + 1। √2 − 1 হল tan θ, cot θ নয়।

Want the full set? Practise all 12 Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি) questions →