Construction: Tangent to a Circle (সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন)

This chapter has

Construction: Tangent to a Circle (সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন) — quick revision notes

This chapter teaches how to construct tangents to a circle with ruler and compasses: the tangent at a given point on the circle, and the two tangents from an external point. Both constructions rest on one fact — the tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.

• A tangent touches the circle at exactly one point, called the point of contact.স্পর্শক বৃত্তকে কেবল একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে; ওই বিন্দুকে স্পর্শবিন্দু বলে।
• The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius drawn through the point of contact.বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
• Tangent at a point P on the circle (centre O): join OP and draw the perpendicular to OP at P.বৃত্তের উপর অবস্থিত P বিন্দুতে স্পর্শক (কেন্দ্র O): O, P যোগ করে P বিন্দুতে OP-এর উপর লম্ব অঙ্কন করতে হয়।
• Number of tangents: none from a point inside the circle, exactly one through a point on it, exactly two from an external point.স্পর্শকের সংখ্যা: অন্তঃস্থ বিন্দু থেকে একটিও নয়, বৃত্তের উপরের বিন্দুতে ঠিক একটি, বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঠিক দুটি।
• Tangents from an external point P: join OP, bisect it at M, and draw a circle with centre M and radius MO cutting the given circle at A and B; PA and PB are the required tangents.বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে স্পর্শক: O, P যোগ করে OP-কে M বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হয়; M-কে কেন্দ্র করে MO ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা প্রদত্ত বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে; PA ও PB নির্ণেয় স্পর্শক।
• Reason: ∠OAP and ∠OBP are angles in a semicircle, so each is 90° and PA ⊥ OA, PB ⊥ OB.যুক্তি: ∠OAP ও ∠OBP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই প্রত্যেকে 90° এবং PA ⊥ OA, PB ⊥ OB।
• The two tangents from an external point are equal (PA = PB) and OP bisects ∠APB.বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান (PA = PB) এবং OP, ∠APB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• Length of a tangent from P = √(OP² − r²), where r is the radius of the circle.P বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √(OP² − r²), যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

Exam tip: Constructions are asked only as a long answer (one construction with an internal choice), never as a 1-mark item. But the facts behind them — tangent ⊥ radius at the point of contact, how many tangents pass through a point, equal tangents from an external point — often appear in the Geometry MCQ, fill-in and true/false. In the construction answer, keep every arc visible and write the steps briefly.সম্পাদ্য কেবল দীর্ঘ উত্তরের প্রশ্ন হিসেবে আসে (বিকল্পসহ একটি অঙ্কন), ১ নম্বরের প্রশ্ন হিসেবে নয়। তবে এর পিছনের তথ্যগুলি — স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, কোনো বিন্দু দিয়ে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়, বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি সমান — জ্যামিতির MCQ, শূন্যস্থান পূরণ ও সত্য/মিথ্যায় প্রায়ই আসে। অঙ্কনের উত্তরে কোনো চাপ মুছবে না এবং অঙ্কন-প্রণালী সংক্ষেপে লিখবে।

Construction: Tangent to a Circle (সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   To construct the tangent at a point P on a circle with centre O, we join OP and then draw a line through P that is ____ to OP.

   O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অবস্থিত P বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন করতে প্রথমে O, P যোগ করে P বিন্দু দিয়ে OP-এর ____ একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হয়।
   • Aparallelসমান্তরাল
   • Bperpendicularউপর লম্ব
   • Cinclined at 45°সঙ্গে ৪৫° কোণে নত
   • Dinclined at 60°সঙ্গে ৬০° কোণে নত
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) perpendicular

   The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact, so the line PT drawn through P must make ∠OPT = 90°.

   বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, তাই P বিন্দু দিয়ে এমন সরলরেখা PT আঁকতে হবে যাতে ∠OPT = 90° হয়।
2. Q2easy

   How many tangents can be drawn to a circle from a point outside it?

   বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
   • ANoneএকটিও না
   • BOneএকটি
   • CInfinitely manyঅসংখ্য
   • DTwoদুটি
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) Two

   From an external point exactly two tangents can be drawn, touching the circle at two different points. A point on the circle has only one tangent and a point inside has none.

   বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঠিক দুটি স্পর্শক আঁকা যায়, যারা বৃত্তকে দুটি ভিন্ন বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের উপরের বিন্দুতে কেবল একটি স্পর্শক আঁকা যায় এবং অন্তঃস্থ বিন্দু থেকে কোনো স্পর্শক আঁকা যায় না।
3. Q3easy

   The common point of a circle and its tangent is called the ____.

   বৃত্ত ও তার স্পর্শকের সাধারণ বিন্দুটিকে বলা হয় ____।
   • Apoint of contactস্পর্শবিন্দু
   • Bcentreকেন্দ্র
   • Cexternal pointবহিঃস্থ বিন্দু
   • Dmidpoint of the chordজ্যা-এর মধ্যবিন্দু
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) point of contact

   A tangent meets the circle at exactly one point, called the point of contact. This point lies on the circle, so it is not an external point, and the centre never lies on a tangent.

   স্পর্শক বৃত্তকে কেবল একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাকে স্পর্শবিন্দু বলে। এই বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই এটি বহিঃস্থ বিন্দু নয়; আর বৃত্তের কেন্দ্র কখনো স্পর্শকের উপর থাকে না।
4. Q4easy

   Which statement is correct?

   কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AA tangent cuts a circle at two points.স্পর্শক বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
   • BTwo tangents can be drawn to a circle from a point inside it.বৃত্তের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকা যায়।
   • COnly one tangent can be drawn at a point on a circle.বৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে কেবল একটি স্পর্শক আঁকা যায়।
   • DThe tangent at a point of a circle is parallel to the radius through that point.বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ওই বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সমান্তরাল।
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) Only one tangent can be drawn at a point on a circle.

   At a point P on a circle there is exactly one line perpendicular to OP at P, so there is exactly one tangent. A tangent touches (does not cut) the circle, no tangent passes through an interior point, and the tangent is perpendicular, not parallel, to the radius.

   বৃত্তের উপরের P বিন্দুতে OP-এর উপর লম্ব সরলরেখা একটিই, তাই স্পর্শকও একটিই। স্পর্শক বৃত্তকে স্পর্শ করে (ছেদ করে না), অন্তঃস্থ বিন্দু দিয়ে কোনো স্পর্শক যায় না এবং স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, সমান্তরাল নয়।
5. Q5medium

   To draw two tangents to a circle with centre O from an external point P, after joining OP the next step is to ____.

   বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে O কেন্দ্রীয় বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকতে O, P যোগ করার পরের ধাপ হল ____।
   • Abisect OP and mark its midpoint MOP-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে তার মধ্যবিন্দু M চিহ্নিত করা
   • Bdraw a perpendicular to OP at PP বিন্দুতে OP-এর উপর লম্ব আঁকা
   • Cdraw a circle with centre P and radius OPP-কে কেন্দ্র করে OP ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকা
   • Ddraw a perpendicular to OP at OO বিন্দুতে OP-এর উপর লম্ব আঁকা
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) bisect OP and mark its midpoint M

   We draw the perpendicular bisector of OP to get its midpoint M, because a circle with OP as diameter is needed next. P is not on the circle, so a perpendicular to OP at P would not touch it.

   OP-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক এঁকে মধ্যবিন্দু M পাওয়া হয়, কারণ এর পরে OP-কে ব্যাস করে বৃত্ত আঁকতে হবে। P বিন্দু বৃত্তের উপর নেই, তাই P বিন্দুতে OP-এর উপর লম্ব বৃত্তকে স্পর্শ করবে না।
6. Q6medium

   In the construction of tangents from an external point P, M is the midpoint of OP. The auxiliary circle is drawn with centre M and radius ____.

   বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে স্পর্শক অঙ্কনে M হল OP-এর মধ্যবিন্দু। সহায়ক বৃত্তটি M-কে কেন্দ্র করে ____ ব্যাসার্ধ নিয়ে আঁকা হয়।
   • AOPOP
   • Bthe radius of the given circleপ্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ
   • CMOMO
   • D2OP2OP
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) MO

   The circle with centre M and radius MO (= MP = OP/2) has OP as a diameter; it cuts the given circle at the two points of contact A and B.

   M কেন্দ্র ও MO (= MP = OP/2) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস OP; এই বৃত্ত প্রদত্ত বৃত্তকে দুটি স্পর্শবিন্দু A ও B-তে ছেদ করে।
7. Q7medium

   In the construction, the circle with OP as diameter cuts the given circle (centre O) at A. Why is PA a tangent to the given circle?

   অঙ্কনে OP-কে ব্যাস করে আঁকা বৃত্ত প্রদত্ত বৃত্তকে (কেন্দ্র O) A বিন্দুতে ছেদ করে। PA প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক কেন?
   • ABecause OA = APকারণ OA = AP
   • BBecause ∠OAP is an angle in a semicircle, so ∠OAP = 90°কারণ ∠OAP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই ∠OAP = 90°
   • CBecause ∠OPA = 90°কারণ ∠OPA = 90°
   • DBecause A is the midpoint of OPকারণ A হল OP-এর মধ্যবিন্দু
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) Because ∠OAP is an angle in a semicircle, so ∠OAP = 90°

   A lies on the circle with diameter OP, so ∠OAP is an angle in a semicircle and equals 90°. Thus PA ⊥ radius OA at A, and a line perpendicular to a radius at its end on the circle is a tangent. The right angle is at A, not at P.

   A বিন্দু OP ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের উপর আছে, তাই ∠OAP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এবং তার মান 90°। সুতরাং A বিন্দুতে PA ব্যাসার্ধ OA-এর উপর লম্ব, আর বৃত্তের উপরের প্রান্তবিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর লম্ব সরলরেখাই স্পর্শক। সমকোণটি A বিন্দুতে, P বিন্দুতে নয়।
8. Q8medium

   P is 13 cm from the centre of a circle of radius 5 cm. The length of each tangent drawn from P to the circle is ____.

   ৫ cm ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে P বিন্দুর দূরত্ব ১৩ cm। P থেকে বৃত্তে অঙ্কিত প্রতিটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ____।
   • A8 cm৮ cm
   • B18 cm১৮ cm
   • C√194 cm√194 cm
   • D12 cm১২ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 12 cm

   OA ⊥ PA, so in right ΔOAP, PA² = OP² − OA² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, giving PA = 12 cm. 8 cm and 18 cm come from simply subtracting or adding, and √194 from adding the squares.

   OA ⊥ PA, তাই সমকোণী ΔOAP-তে PA² = OP² − OA² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, অর্থাৎ PA = 12 cm। শুধু বিয়োগ বা যোগ করলে ৮ cm ও ১৮ cm আসে, আর বর্গ দুটি যোগ করলে √194 আসে।
9. Q9medium

   Match Column A (position of point P) with Column B (number of tangents to the circle through P): (a) P inside the circle, (b) P on the circle, (c) P outside the circle; (i) 2, (ii) 0, (iii) 1.

   স্তম্ভ ক (P বিন্দুর অবস্থান)-এর সঙ্গে স্তম্ভ খ (P দিয়ে বৃত্তের স্পর্শকের সংখ্যা) মেলাও: (a) P বৃত্তের অন্তঃস্থ, (b) P বৃত্তের উপর, (c) P বৃত্তের বহিঃস্থ; (i) ২, (ii) ০, (iii) ১।
   • Aa-i, b-ii, c-iiia-i, b-ii, c-iii
   • Ba-iii, b-i, c-iia-iii, b-i, c-ii
   • Ca-ii, b-iii, c-ia-ii, b-iii, c-i
   • Da-ii, b-i, c-iiia-ii, b-i, c-iii
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) a-ii, b-iii, c-i

   From a point inside there is no tangent (0), at a point on the circle exactly one (1), and from a point outside exactly two (2). So a-ii, b-iii, c-i.

   অন্তঃস্থ বিন্দু থেকে কোনো স্পর্শক নেই (০), বৃত্তের উপরের বিন্দুতে ঠিক একটি (১), বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঠিক দুটি (২)। তাই a-ii, b-iii, c-i।
10. Q10medium

    PA and PB are the two tangents constructed from an external point P to a circle with centre O. Which statement is correct?

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA ও PB। কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • APA = PB and OP bisects ∠APBPA = PB এবং OP, ∠APB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে
    • BPA > PBPA > PB
    • CAB always passes through OAB সর্বদা O বিন্দুগামী
    • D∠AOB is always 90°∠AOB সর্বদা 90°
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) PA = PB and OP bisects ∠APB

    In ΔOAP and ΔOBP, OA = OB, OP is common and ∠OAP = ∠OBP = 90°, so the triangles are congruent (RHS). Hence PA = PB and ∠APO = ∠BPO. AB is a chord that does not pass through O, and ∠AOB depends on the length of OP.

    ΔOAP ও ΔOBP-তে OA = OB, OP সাধারণ বাহু এবং ∠OAP = ∠OBP = 90°, তাই সমকোণ-অতিভুজ-বাহু শর্তে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। সুতরাং PA = PB এবং ∠APO = ∠BPO। AB একটি জ্যা যা O বিন্দুগামী নয়, আর ∠AOB-এর মান OP-এর দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে।
11. Q11hard

    PA and PB are tangents from an external point P to a circle with centre O. If ∠APB = 70°, then ∠AOB = ____.

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA ও PB। ∠APB = 70° হলে ∠AOB = ____।
    • A70°৭০°
    • B110°১১০°
    • C140°১৪০°
    • D35°৩৫°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 110°

    ∠OAP = ∠OBP = 90° (tangent ⊥ radius). The angles of quadrilateral OAPB add up to 360°, so ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°. ∠AOB and ∠APB are supplementary, not equal.

    স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব বলে ∠OAP = ∠OBP = 90°। চতুর্ভুজ OAPB-এর কোণগুলির সমষ্টি 360°, তাই ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°। ∠AOB ও ∠APB পরস্পর সম্পূরক, সমান নয়।
12. Q12hard

    A circle with centre O has radius 6 cm and OP = 10 cm. To draw tangents from P, an auxiliary circle is drawn with the midpoint of OP as centre. The radius of this auxiliary circle and the length of each tangent are respectively ____.

    O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ cm এবং OP = ১০ cm। P থেকে স্পর্শক আঁকার জন্য OP-এর মধ্যবিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি সহায়ক বৃত্ত আঁকা হল। ওই সহায়ক বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং প্রতিটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ____।
    • A10 cm and 8 cm১০ cm ও ৮ cm
    • B5 cm and 4 cm৫ cm ও ৪ cm
    • C3 cm and 8 cm৩ cm ও ৮ cm
    • D5 cm and 8 cm৫ cm ও ৮ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 5 cm and 8 cm

    The auxiliary circle has radius OP/2 = 10/2 = 5 cm. Each tangent = √(OP² − r²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm.

    সহায়ক বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP/2 = 10/2 = 5 cm। প্রতিটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √(OP² − r²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm।

Want the full set? Practise all 12 Construction: Tangent to a Circle (সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন) questions →