Quadratic Equation in One Variable (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

This chapter has

Quadratic Equation in One Variable (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ) — quick revision notes

A quadratic equation in one variable has the standard form ax² + bx + c = 0 with a ≠ 0, and it has at most two roots. Roots are found by factorisation, by expressing the equation as a perfect square, or by Sridhar Acharya's formula; the discriminant b² − 4ac tells the nature of the roots even before solving.

• Standard form: ax² + bx + c = 0, where a, b, c are real numbers and a ≠ 0; if a = 0 the equation becomes linear.সাধারণ রূপ: ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0; a = 0 হলে সমীকরণটি একঘাত হয়ে যায়।
• A quadratic equation has at most two roots; a value is a root if it satisfies the equation.দ্বিঘাত সমীকরণের অনধিক দুটি বীজ থাকে; যে মান সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে সেটিই বীজ।
• Factorisation: split the middle term into two parts whose product is ac and whose sum is b.উৎপাদকে বিশ্লেষণ: মধ্যপদটিকে এমন দুটি অংশে ভাঙতে হয় যাদের গুণফল ac এবং যোগফল b।
• Perfect square method: make the coefficient of x² equal to 1, then add (half the coefficient of x)² to both sides.পূর্ণবর্গ পদ্ধতি: x²-এর সহগ ১ করে উভয়পক্ষে (x-এর সহগের অর্ধেক)² যোগ করতে হয়।
• Sridhar Acharya's formula: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a.শ্রীধর আচার্যের সূত্র: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a।
• Nature of roots (discriminant D = b² − 4ac): D > 0 real and unequal; D = 0 real and equal; D < 0 not real.বীজদ্বয়ের প্রকৃতি (নিরূপক D = b² − 4ac): D > 0 হলে বাস্তব ও অসমান; D = 0 হলে বাস্তব ও সমান; D < 0 হলে বীজ বাস্তব নয়।
• Sum of the roots = −b/a and product of the roots = c/a.বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −b/a এবং বীজদ্বয়ের গুণফল = c/a।
• The equation whose roots are α and β is x² − (α + β)x + αβ = 0.α ও β বীজবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ: x² − (α + β)x + αβ = 0।

Exam tip: Expect a 1-mark MCQ, fill-in or true/false (the condition a ≠ 0, the value of k when one root is given, or the nature of roots from b² − 4ac), 2-mark short answers on forming an equation or finding roots, and a long answer on a real-life word problem or Sridhar Acharya's formula.এই অধ্যায় থেকে ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যা (যেমন a ≠ 0 শর্ত, একটি বীজ দেওয়া থাকলে k-এর মান, বা b² − 4ac দেখে বীজের প্রকৃতি), সমীকরণ গঠন বা বীজ নির্ণয়ের ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন এবং বাস্তব সমস্যা বা শ্রীধর আচার্যের সূত্র নিয়ে দীর্ঘ প্রশ্ন আসে।

Quadratic Equation in One Variable (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   Which of the following is a quadratic equation in one variable?

   নীচের কোনটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ?
   • A3x − 7 = 03x − 7 = 0
   • Bx³ − 4x = 0x³ − 4x = 0
   • C2x² − 5x + 3 = 02x² − 5x + 3 = 0
   • D(x − 1)² = x² + 3(x − 1)² = x² + 3
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 2x² − 5x + 3 = 0

   In a quadratic equation the highest power of x is 2 and the coefficient of x² is non-zero, so 2x² − 5x + 3 = 0 is quadratic. Trap: (x − 1)² = x² + 3 simplifies to −2x − 2 = 0, which is linear.

   দ্বিঘাত সমীকরণে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত ২ এবং x²-এর সহগ শূন্য নয়, তাই 2x² − 5x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ। সাবধান: (x − 1)² = x² + 3 সরল করলে −2x − 2 = 0 হয়, যা একঘাত সমীকরণ।
2. Q2easy

   If 2 is a root of the equation x² − 6x + k = 0, then the value of k is ____.

   x² − 6x + k = 0 সমীকরণের একটি বীজ ২ হলে k-এর মান ____।
   • A8৮
   • B−8−৮
   • C4৪
   • D12১২
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 8

   A root satisfies the equation: 2² − 6 × 2 + k = 0 ⇒ 4 − 12 + k = 0 ⇒ k = 8.

   বীজ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে: 2² − 6 × 2 + k = 0 ⇒ 4 − 12 + k = 0 ⇒ k = 8।
3. Q3easy

   The equation (a − 2)x² + 3x + 5 = 0 is NOT a quadratic equation when a = ____.

   a = ____ হলে (a − 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
   • A0০
   • B2২
   • C−2−২
   • D5৫
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 2

   When a = 2 the coefficient of x² becomes 0 and the equation reduces to the linear equation 3x + 5 = 0. A quadratic equation needs a non-zero coefficient of x².

   a = 2 হলে x²-এর সহগ ০ হয়ে যায় এবং সমীকরণটি একঘাত সমীকরণ 3x + 5 = 0-তে পরিণত হয়। দ্বিঘাত সমীকরণে x²-এর সহগ অশূন্য হতেই হবে।
4. Q4easy

   By Sridhar Acharya's formula, the roots of ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) are x =

   শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুযায়ী ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় x =
   • A(b ± √(b² − 4ac)) / 2a(b ± √(b² − 4ac)) / 2a
   • B(−b ± √(b² + 4ac)) / 2a(−b ± √(b² + 4ac)) / 2a
   • C(−b ± √(b² − 4ac)) / a(−b ± √(b² − 4ac)) / a
   • D(−b ± √(b² − 4ac)) / 2a(−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

   Sridhar Acharya's formula is x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Common slips are dropping the minus sign of b, writing + 4ac, or dividing by a instead of 2a.

   শ্রীধর আচার্যের সূত্র: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a। সাধারণ ভুল — b-এর আগের ঋণচিহ্ন বাদ দেওয়া, − 4ac-এর জায়গায় + 4ac লেখা, অথবা 2a-এর বদলে a দিয়ে ভাগ করা।
5. Q5medium

   Solving 6x² − x − 2 = 0 by factorisation, the roots are

   উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে 6x² − x − 2 = 0 সমীকরণের সমাধান করলে বীজদ্বয় হয়
   • Ax = −2/3, 1/2x = −2/3, 1/2
   • Bx = 2/3, −1/2x = 2/3, −1/2
   • Cx = 3/2, −2x = 3/2, −2
   • Dx = 2/3, 1/2x = 2/3, 1/2
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) x = 2/3, −1/2

   Here ac = −12, so split −x as −4x + 3x: 6x² − 4x + 3x − 2 = 2x(3x − 2) + 1(3x − 2) = (3x − 2)(2x + 1) = 0, giving x = 2/3 or x = −1/2.

   এখানে ac = −12, তাই −x-কে −4x + 3x আকারে ভাঙি: 6x² − 4x + 3x − 2 = 2x(3x − 2) + 1(3x − 2) = (3x − 2)(2x + 1) = 0; সুতরাং x = 2/3 অথবা x = −1/2।
6. Q6medium

   To solve x² + 6x − 7 = 0 by expressing it as a perfect square, the equation is written as

   x² + 6x − 7 = 0 সমীকরণটিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করে সমাধান করতে গেলে সমীকরণটি দাঁড়ায়
   • A(x + 3)² = 16(x + 3)² = 16
   • B(x + 3)² = 7(x + 3)² = 7
   • C(x + 6)² = 43(x + 6)² = 43
   • D(x − 3)² = 16(x − 3)² = 16
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) (x + 3)² = 16

   x² + 6x = 7; add (6/2)² = 9 to both sides to get (x + 3)² = 16. Then x + 3 = ±4, so x = 1 or x = −7.

   x² + 6x = 7; উভয়পক্ষে (6/2)² = 9 যোগ করে পাই (x + 3)² = 16। তখন x + 3 = ±4, তাই x = 1 অথবা x = −7।
7. Q7medium

   Using Sridhar Acharya's formula, the roots of x² − 4x + 1 = 0 are

   শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে x² − 4x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় হল
   • A−2 ± √3−2 ± √3
   • B4 ± √34 ± √3
   • C2 ± √32 ± √3
   • D2 ± √52 ± √5
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 2 ± √3

   Here a = 1, b = −4, c = 1, so b² − 4ac = 16 − 4 = 12 and x = (4 ± √12)/2 = (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Trap: −b = +4 here, not −4.

   এখানে a = 1, b = −4, c = 1; b² − 4ac = 16 − 4 = 12, তাই x = (4 ± √12)/2 = (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3। সাবধান: এখানে −b = +4, −4 নয়।
8. Q8medium

   Which statement is correct about the roots of 2x² − 4x + 3 = 0?

   2x² − 4x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় সম্পর্কে কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AThe roots are real and equal.বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
   • BThe roots are real and unequal.বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
   • COne of the roots is 0.একটি বীজ ০।
   • DThe roots are not real.বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) The roots are not real.

   Discriminant b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × 3 = 16 − 24 = −8 < 0, so the roots are not real. A root can be 0 only when c = 0.

   নিরূপক b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × 3 = 16 − 24 = −8 < 0, তাই বীজদ্বয় বাস্তব নয়। কোনো বীজ ০ হতে পারে কেবল তখনই যখন c = 0।
9. Q9medium

   The quadratic equation whose roots are 3 and −5 is

   যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় ৩ ও −৫, সেটি হল
   • Ax² − 2x − 15 = 0x² − 2x − 15 = 0
   • Bx² + 2x − 15 = 0x² + 2x − 15 = 0
   • Cx² + 2x + 15 = 0x² + 2x + 15 = 0
   • Dx² − 8x − 15 = 0x² − 8x − 15 = 0
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) x² + 2x − 15 = 0

   Use x² − (sum of roots)x + (product of roots) = 0. Sum = 3 + (−5) = −2 and product = −15, so x² + 2x − 15 = 0. Check: (x − 3)(x + 5) = x² + 2x − 15.

   x² − (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0 ব্যবহার করি। সমষ্টি = 3 + (−5) = −2, গুণফল = −15, তাই সমীকরণ x² + 2x − 15 = 0। যাচাই: (x − 3)(x + 5) = x² + 2x − 15।
10. Q10medium

    For the equation x² − 5x + 6 = 0, match Column A with Column B. Column A: (a) sum of the roots, (b) product of the roots, (c) value of b² − 4ac, (d) the greater root. Column B: (i) 1, (ii) 5, (iii) 6, (iv) 3.

    x² − 5x + 6 = 0 সমীকরণের ক্ষেত্রে বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) বীজদ্বয়ের সমষ্টি, (b) বীজদ্বয়ের গুণফল, (c) b² − 4ac-এর মান, (d) বৃহত্তর বীজ। ডানস্তম্ভ: (i) ১, (ii) ৫, (iii) ৬, (iv) ৩।
    • Aa-ii, b-iii, c-i, d-iva-ii, b-iii, c-i, d-iv
    • Ba-iii, b-ii, c-i, d-iva-iii, b-ii, c-i, d-iv
    • Ca-ii, b-iii, c-iv, d-ia-ii, b-iii, c-iv, d-i
    • Da-ii, b-i, c-iii, d-iva-ii, b-i, c-iii, d-iv
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) a-ii, b-iii, c-i, d-iv

    Sum = −b/a = 5, product = c/a = 6, b² − 4ac = 25 − 24 = 1, and the roots are 2 and 3, so the greater root is 3: a-ii, b-iii, c-i, d-iv.

    সমষ্টি = −b/a = 5, গুণফল = c/a = 6, b² − 4ac = 25 − 24 = 1, এবং বীজদ্বয় ২ ও ৩, তাই বৃহত্তর বীজ ৩: a-ii, b-iii, c-i, d-iv।
11. Q11hard

    If the roots of (k + 1)x² − 2(k − 1)x + 1 = 0 are real and equal, then k =

    (k + 1)x² − 2(k − 1)x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে k-এর মান
    • A1 or 3১ অথবা ৩
    • B0 or −3০ অথবা −৩
    • Conly 3কেবল ৩
    • D0 or 3০ অথবা ৩
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 0 or 3

    Equal roots need b² − 4ac = 0: 4(k − 1)² − 4(k + 1) = 0 ⇒ k² − 2k + 1 − k − 1 = 0 ⇒ k² − 3k = 0 ⇒ k = 0 or 3. Both values keep k + 1 ≠ 0, so neither is rejected.

    বীজদ্বয় সমান হলে b² − 4ac = 0: 4(k − 1)² − 4(k + 1) = 0 ⇒ k² − 2k + 1 − k − 1 = 0 ⇒ k² − 3k = 0 ⇒ k = 0 অথবা 3। দুটি মানেই k + 1 ≠ 0, তাই কোনো মানই বাদ যাবে না।
12. Q12hard

    A train covers 300 km at a uniform speed. If its speed were 5 km/h more, the journey would take 2 hours less. The speed of the train is

    একটি ট্রেন সমবেগে ৩০০ কিমি পথ অতিক্রম করে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৫ কিমি বেশি হলে যাত্রায় ২ ঘণ্টা কম সময় লাগত। ট্রেনটির গতিবেগ
    • A20 km/hঘণ্টায় ২০ কিমি
    • B30 km/hঘণ্টায় ৩০ কিমি
    • C25 km/hঘণ্টায় ২৫ কিমি
    • D50 km/hঘণ্টায় ৫০ কিমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 25 km/h

    Let the speed be x km/h: 300/x − 300/(x + 5) = 2 ⇒ 1500 = 2x(x + 5) ⇒ x² + 5x − 750 = 0 ⇒ (x + 30)(x − 25) = 0. Speed cannot be negative, so x = 25 km/h (30 km/h is the increased speed).

    ধরি গতিবেগ ঘণ্টায় x কিমি: 300/x − 300/(x + 5) = 2 ⇒ 1500 = 2x(x + 5) ⇒ x² + 5x − 750 = 0 ⇒ (x + 30)(x − 25) = 0। গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 25, অর্থাৎ ঘণ্টায় ২৫ কিমি (ঘণ্টায় ৩০ কিমি হল বর্ধিত গতিবেগ)।

Want the full set? Practise all 12 Quadratic Equation in One Variable (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ) questions →