Pythagoras Theorem (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

This chapter has

Pythagoras Theorem (পিথাগোরাসের উপপাদ্য) — quick revision notes

Pythagoras theorem states that in a right-angled triangle the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides. Its converse says that if this relation holds in a triangle, the angle opposite the longest side is a right angle. Both proofs are in the syllabus, and the results are used to find diagonals, heights and distances.

• Theorem: in ΔABC with ∠A = 90°, BC² = AB² + AC² (BC, the side opposite the right angle, is the hypotenuse).উপপাদ্য: ΔABC-এর ∠A = 90° হলে BC² = AB² + AC² (সমকোণের বিপরীত বাহু BC হল অতিভুজ)।
• Proof idea (textbook): draw AD ⊥ BC; ΔABD ~ ΔCBA and ΔACD ~ ΔBCA, so AB² = BC·BD and AC² = BC·CD; adding, AB² + AC² = BC(BD + CD) = BC².প্রমাণের মূল ধারণা (পাঠ্যবই): AD ⊥ BC টানলে ΔABD ~ ΔCBA এবং ΔACD ~ ΔBCA, ফলে AB² = BC·BD ও AC² = BC·CD; যোগ করে AB² + AC² = BC(BD + CD) = BC²।
• Converse: if the square on one side of a triangle equals the sum of the squares on the other two sides, the angle opposite the first side is a right angle (proved by constructing a right triangle with the same two sides and using SSS congruence).বিপরীত উপপাদ্য: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ (একই দুটি বাহু নিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করে বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতার সাহায্যে প্রমাণ করা হয়)।
• Common Pythagorean triples: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) and their multiples such as (6, 8, 10).পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী: (৩, ৪, ৫), (৫, ১২, ১৩), (৮, ১৫, ১৭), (৭, ২৪, ২৫) এবং এদের গুণিতক, যেমন (৬, ৮, ১০)।
• Diagonal of a square of side a = a√2; diagonal of a rectangle = √(l² + b²); height of an equilateral triangle of side a = (√3/2)a.a বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2; আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(l² + b²); a বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2)a।
• The diagonals of a rhombus bisect each other at right angles, so side² = (d₁/2)² + (d₂/2)².রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই বাহু² = (d₁/2)² + (d₂/2)²।
• If AD ⊥ BC in any ΔABC, then AB² − AC² = BD² − CD².যে-কোনো ΔABC-এ AD ⊥ BC হলে AB² − AC² = BD² − CD²।
• In a right triangle, if AD is the perpendicular from the right-angled vertex to the hypotenuse BC, then AD² = BD·DC.সমকোণী ত্রিভুজে সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজ BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD হলে AD² = BD·DC।

Exam tip: Pythagoras theorem and its converse are among the theorems set for proof in the long-answer section, so learn the textbook figure with the perpendicular AD and the similar-triangle steps. The Geometry 1-mark items (MCQ, fill in the blank, true/false) and 2-mark short answers test triples, diagonals, ladders and rhombus sides.পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও তার বিপরীত উপপাদ্য দীর্ঘ উত্তরে প্রমাণ করতে দেওয়া উপপাদ্যগুলির অন্যতম, তাই AD লম্বসহ পাঠ্যবইয়ের চিত্র ও সদৃশ ত্রিভুজের ধাপগুলি ভালোভাবে শেখো। জ্যামিতির ১ নম্বরের প্রশ্নে (MCQ, শূন্যস্থান পূরণ, সত্য/মিথ্যা) এবং ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে পিথাগোরীয় ত্রয়ী, কর্ণ, মই বা রম্বসের বাহু নির্ণয় আসে।

Pythagoras Theorem (পিথাগোরাসের উপপাদ্য) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   Which set of side lengths forms a right-angled triangle?

   নীচের কোন দৈর্ঘ্যের বাহুগুলি নিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়?
   • A4 cm, 5 cm, 6 cm৪ cm, ৫ cm, ৬ cm
   • B6 cm, 7 cm, 8 cm৬ cm, ৭ cm, ৮ cm
   • C2 cm, 3 cm, 4 cm২ cm, ৩ cm, ৪ cm
   • D5 cm, 12 cm, 13 cm৫ cm, ১২ cm, ১৩ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 5 cm, 12 cm, 13 cm

   Compare the square of the longest side with the sum of the other two squares: 13² = 169 = 25 + 144 = 5² + 12². For the others, 36 ≠ 41, 64 ≠ 85 and 16 ≠ 13.

   বৃহত্তম বাহুর বর্গকে অপর দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সঙ্গে তুলনা করো: 13² = 169 = 25 + 144 = 5² + 12²। বাকিগুলিতে 36 ≠ 41, 64 ≠ 85 এবং 16 ≠ 13।
2. Q2easy

   The two sides containing the right angle of a right-angled triangle are 6 cm and 8 cm long. Its hypotenuse is

   একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ৬ cm ও ৮ cm। ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য
   • A10 cm১০ cm
   • B14 cm১৪ cm
   • C12 cm১২ cm
   • D7 cm৭ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 10 cm

   Hypotenuse² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, so the hypotenuse = 10 cm. 14 cm is just 6 + 8.

   অতিভুজ² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, তাই অতিভুজ = 10 cm। ১৪ cm কেবল ৬ ও ৮-এর যোগফল।
3. Q3easy

   The length of a diagonal of a square of side 5 cm is

   ৫ cm বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য
   • A10 cm১০ cm
   • B25 cm২৫ cm
   • C5√2 cm5√2 cm
   • D5√3 cm5√3 cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 5√2 cm

   Diagonal² = 5² + 5² = 50, so diagonal = √50 = 5√2 cm. 5√3 cm is the diagonal of a cube of edge 5 cm, not of a square.

   কর্ণ² = 5² + 5² = 50, তাই কর্ণ = √50 = 5√2 cm। 5√3 cm হল ৫ cm ধারবিশিষ্ট ঘনকের কর্ণ, বর্গক্ষেত্রের নয়।
4. Q4easy

   Fill in the blank: In a right-angled triangle, the ____ is the side whose square equals the sum of the squares of the other two sides.

   শূন্যস্থান পূরণ করো: সমকোণী ত্রিভুজে ____ হল সেই বাহু, যার দৈর্ঘ্যের বর্গ অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টির সমান।
   • Abaseভূমি
   • Bhypotenuseঅতিভুজ
   • Cperpendicularলম্ব
   • Dsmallest sideক্ষুদ্রতম বাহু
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) hypotenuse

   Pythagoras theorem: hypotenuse² = base² + perpendicular². The hypotenuse is opposite the right angle and is the longest side.

   পিথাগোরাসের উপপাদ্য: অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²। অতিভুজ সমকোণের বিপরীত বাহু এবং এটিই বৃহত্তম বাহু।
5. Q5medium

   A 13 m long ladder rests against a vertical wall with its foot 5 m away from the wall. How high up the wall does the ladder reach?

   ১৩ m লম্বা একটি মই একটি খাড়া দেয়ালে এমনভাবে হেলান দিয়ে রাখা আছে যে মইয়ের পাদদেশ দেয়াল থেকে ৫ m দূরে। মইটি দেয়ালের কত উচ্চতায় পৌঁছায়?
   • A8 m৮ m
   • B12 m১২ m
   • C18 m১৮ m
   • D√194 m√194 m
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 12 m

   The ladder is the hypotenuse: height² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, so height = 12 m. Adding the squares to get √194 m is the common trap.

   মইটি অতিভুজ: উচ্চতা² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, তাই উচ্চতা = 12 m। বর্গ দুটি যোগ করে √194 m লেখা একটি সাধারণ ভুল।
6. Q6medium

   The diagonals of a rhombus are 16 cm and 12 cm long. The length of each side of the rhombus is

   একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৬ cm ও ১২ cm। রম্বসটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য
   • A20 cm২০ cm
   • B14 cm১৪ cm
   • C28 cm২৮ cm
   • D10 cm১০ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 10 cm

   The diagonals bisect each other at right angles, so the half-diagonals are 8 cm and 6 cm; side = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm. Using the full diagonals gives 20 cm, which is wrong.

   রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধকর্ণ দুটি ৮ cm ও ৬ cm; বাহু = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm। পূর্ণ কর্ণ নিলে ২০ cm আসে, যা ভুল।
7. Q7medium

   In ΔPQR, PQ = 7 cm, QR = 24 cm and PR = 25 cm. Which angle of the triangle is a right angle?

   ΔPQR-এ PQ = 7 cm, QR = 24 cm এবং PR = 25 cm। ত্রিভুজটির কোন কোণটি সমকোণ?
   • A∠P∠P
   • B∠Q∠Q
   • C∠R∠R
   • DNone of the anglesকোনো কোণই সমকোণ নয়
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) ∠Q

   PQ² + QR² = 49 + 576 = 625 = PR², so by the converse of Pythagoras theorem the angle opposite PR, i.e. ∠Q, is 90°.

   PQ² + QR² = 49 + 576 = 625 = PR², তাই পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী PR-এর বিপরীত কোণ, অর্থাৎ ∠Q = 90°।
8. Q8medium

   Which statement is correct?

   কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • APythagoras theorem is true for every triangle.পিথাগোরাসের উপপাদ্য যে-কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সত্য।
   • BLine segments of 6 cm, 8 cm and 12 cm form a right-angled triangle.৬ cm, ৮ cm ও ১২ cm দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যায়।
   • CIf the sides a, b, c of a triangle satisfy a² + b² = c², the angle opposite c is a right angle.কোনো ত্রিভুজের বাহু a, b, c-এর মধ্যে a² + b² = c² সম্পর্ক থাকলে c বাহুর বিপরীত কোণ সমকোণ।
   • DThe hypotenuse is the smallest side of a right-angled triangle.সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ক্ষুদ্রতম বাহু।
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) If the sides a, b, c of a triangle satisfy a² + b² = c², the angle opposite c is a right angle.

   This is the converse of Pythagoras theorem. The theorem holds only for right-angled triangles; 6² + 8² = 100 ≠ 144 = 12²; and the hypotenuse is the longest side.

   এটিই পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য। উপপাদ্যটি কেবল সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সত্য; 6² + 8² = 100 ≠ 144 = 12²; এবং অতিভুজ বৃহত্তম বাহু।
9. Q9medium

   In ΔABC, ∠BAC = 90° and AD ⊥ BC. In the proof of Pythagoras theorem, which relation is obtained from the similar triangles ABD and CBA?

   ΔABC-এর ∠BAC = 90° এবং AD ⊥ BC। পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণে সদৃশ ত্রিভুজ ABD ও CBA থেকে কোন সম্পর্কটি পাওয়া যায়?
   • AAB² = BD·BCAB² = BD·BC
   • BAB² = BD·DCAB² = BD·DC
   • CAD² = BD·BCAD² = BD·BC
   • DAC² = BD·DCAC² = BD·DC
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) AB² = BD·BC

   ΔABD ~ ΔCBA gives AB/BC = BD/AB, so AB² = BC·BD. Similarly AC² = BC·CD; adding the two gives AB² + AC² = BC².

   ΔABD ~ ΔCBA থেকে AB/BC = BD/AB, তাই AB² = BC·BD। একইভাবে AC² = BC·CD; দুটি যোগ করলে AB² + AC² = BC²।
10. Q10medium

    The height of an equilateral triangle of side 6 cm is

    ৬ cm বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
    • A3 cm৩ cm
    • B6√3 cm6√3 cm
    • C3√2 cm3√2 cm
    • D3√3 cm3√3 cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 3√3 cm

    The altitude bisects the base, so height² = 6² − 3² = 36 − 9 = 27 and height = √27 = 3√3 cm (= (√3/2) × 6).

    উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই উচ্চতা² = 6² − 3² = 36 − 9 = 27 এবং উচ্চতা = √27 = 3√3 cm (= (√3/2) × 6)।
11. Q11hard

    In ΔABC, AD is perpendicular to BC, with D on BC. Then AB² − AC² is equal to

    ΔABC-এ AD, BC-এর উপর লম্ব এবং D বিন্দুটি BC-এর উপর অবস্থিত। তাহলে AB² − AC²-এর মান
    • ABD² + CD²BD² + CD²
    • BBC²BC²
    • CBD² − CD²BD² − CD²
    • DAD²AD²
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) BD² − CD²

    From right triangles ABD and ACD: AB² = AD² + BD² and AC² = AD² + CD². Subtracting, AD² cancels: AB² − AC² = BD² − CD².

    সমকোণী ত্রিভুজ ABD ও ACD থেকে AB² = AD² + BD² এবং AC² = AD² + CD²। বিয়োগ করলে AD² বাদ যায়: AB² − AC² = BD² − CD²।
12. Q12hard

    O is a point inside rectangle ABCD. If OA = 3 cm, OB = 4 cm and OC = 5 cm, then the length of OD is

    ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু। OA = 3 cm, OB = 4 cm এবং OC = 5 cm হলে OD-এর দৈর্ঘ্য
    • A3√2 cm3√2 cm
    • B4√2 cm4√2 cm
    • C6 cm৬ cm
    • D√34 cm√34 cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 3√2 cm

    Drawing a line through O parallel to AB and applying Pythagoras theorem to the four right triangles formed gives OA² + OC² = OB² + OD². So OD² = 9 + 25 − 16 = 18 and OD = 3√2 cm.

    O বিন্দু দিয়ে AB-এর সমান্তরাল সরলরেখা টেনে উৎপন্ন চারটি সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করলে OA² + OC² = OB² + OD² পাওয়া যায়। তাই OD² = 9 + 25 − 16 = 18 এবং OD = 3√2 cm।

Want the full set? Practise all 12 Pythagoras Theorem (পিথাগোরাসের উপপাদ্য) questions →