Madhyamik 2027 (WBBSE) · Mathematics (গণিত)

Trigonometry: Concept of Measurement of Angle (ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা)

12 practice questions with full step-by-step solutions, quick revision notes — free, no sign-up.

Content reviewed by Kaustav Basak, Founder · Report a mistake

Practise · 12 questions

This chapter has

4
easy
6
medium
2
hard

Trigonometry: Concept of Measurement of Angle (ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা) — quick revision notes

Trigonometry ('measurement of triangles') lets us find heights and distances that cannot be measured directly. This chapter treats an angle as the rotation of a ray — anticlockwise rotation gives a positive angle and clockwise a negative one — and introduces two systems of measuring angles: the sexagesimal system (degree, minute, second) and the circular system (radian), linked by πᶜ = 180°.

ত্রিকোণমিতি ('ত্রিভুজের পরিমাপ')-র সাহায্যে যে উচ্চতা ও দূরত্ব সরাসরি মাপা যায় না তা নির্ণয় করা যায়। এই অধ্যায়ে রশ্মির ঘূর্ণনের মাধ্যমে কোণের ধারণা দেওয়া হয়েছে — ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণনে ধনাত্মক এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণনে ঋণাত্মক কোণ উৎপন্ন হয় — এবং কোণ পরিমাপের দুটি পদ্ধতি শেখানো হয়েছে: ষষ্টিক পদ্ধতি (ডিগ্রি, মিনিট, সেকেন্ড) ও বৃত্তীয় পদ্ধতি (রেডিয়ান), যাদের মধ্যে সম্পর্ক πᶜ = 180°।
  • The word trigonometry comes from Greek words meaning 'triangle' and 'measure'; it is used to find heights and distances (of a hill, a tower, the width of a river) indirectly.ত্রিকোণমিতি (Trigonometry) শব্দটি গ্রিক ভাষার 'ত্রিভুজ' ও 'পরিমাপ' অর্থবোধক শব্দ থেকে এসেছে; পাহাড় বা স্তম্ভের উচ্চতা, নদীর প্রস্থ ইত্যাদি পরোক্ষভাবে নির্ণয় করতে এটি ব্যবহৃত হয়।
  • An angle is formed by rotating a ray about its end point; anticlockwise rotation gives a positive angle, clockwise rotation a negative angle, and an angle can be greater than 360°.কোনো রশ্মিকে তার প্রান্তবিন্দুর চারদিকে ঘোরালে কোণ উৎপন্ন হয়; ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরালে ধনাত্মক কোণ, ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরালে ঋণাত্মক কোণ হয়, এবং কোণের মান 360°-এর বেশিও হতে পারে।
  • Sexagesimal system: 1 right angle = 90°, 1° = 60′ (minutes), 1′ = 60″ (seconds), so 1° = 3600″.ষষ্টিক পদ্ধতি: ১ সমকোণ = 90°, 1° = 60′ (মিনিট), 1′ = 60″ (সেকেন্ড), তাই 1° = 3600″।
  • Circular system: 1 radian (1ᶜ) is the angle subtended at the centre of a circle by an arc whose length equals the radius.বৃত্তীয় পদ্ধতি: বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তা ১ রেডিয়ান (1ᶜ)।
  • A radian is a constant angle (= 2 right angles ÷ π), independent of the size of the circle; 1ᶜ ≈ 57°17′44.8″.রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ (= দুই সমকোণ ÷ π), বৃত্তের আকারের উপর নির্ভর করে না; 1ᶜ ≈ 57°17′44.8″।
  • Relation: πᶜ = 180° (two right angles); degrees → radians: multiply by π/180; radians → degrees: multiply by 180/π.সম্পর্ক: πᶜ = 180° (দুই সমকোণ); ডিগ্রি থেকে রেডিয়ানে যেতে π/180 দিয়ে এবং রেডিয়ান থেকে ডিগ্রিতে যেতে 180/π দিয়ে গুণ করতে হয়।
  • Angle at the centre in radians: θ = s/r, where s is the arc length and r is the radius.কেন্দ্রস্থ কোণের রেডিয়ান মান θ = s/r, যেখানে s চাপের দৈর্ঘ্য এবং r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
  • Standard values: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 150° = 5π/6, 360° = 2π.প্রচলিত মান: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 150° = 5π/6, 360° = 2π।

Common mistakes to avoid

  • Writing π = 180 — it is πᶜ (π radians) that equals 180°; π itself is a number ≈ 22/7.
  • Converting minutes wrongly — 30′ is ½°, so 22°30′ is 22.5°, not 22.30°.
  • Forgetting that clock hands move clockwise, so the angle they trace is negative when the sign is asked.
  • Using the diameter instead of the radius in θ = s/r.

Exam tip: Trigonometry has one MCQ, one fill-in and one true/false item in the paper; from this chapter they usually test πᶜ = 180°, the value of 1 radian, degree–radian conversion or the sign of an angle. 2-mark answers ask conversions like 40°20′ to radians, the third angle of a triangle, or the angle traced by clock hands — always show the × π/180 or × 180/π step.পরীক্ষায় ত্রিকোণমিতি থেকে একটি MCQ, একটি শূন্যস্থান পূরণ ও একটি সত্য/মিথ্যা আসে; এই অধ্যায় থেকে সাধারণত πᶜ = 180°, ১ রেডিয়ানের মান, ডিগ্রি–রেডিয়ান রূপান্তর বা কোণের চিহ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়। ২ নম্বরের প্রশ্নে 40°20′-কে রেডিয়ানে প্রকাশ, ত্রিভুজের তৃতীয় কোণ বা ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণন-কোণ নির্ণয় আসে — সবসময় × π/180 বা × 180/π ধাপটি দেখাবে।

Trigonometry: Concept of Measurement of Angle (ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

  1. Q1easy

    Trigonometry is mainly needed to ____.

    ত্রিকোণমিতির প্রয়োজন মূলত ____।
    • Afind the mass of an objectকোনো বস্তুর ভর নির্ণয় করতে
    • Bfind the volume of a solidকোনো ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় করতে
    • Cfind heights and distances that cannot be measured directlyযে উচ্চতা ও দূরত্ব সরাসরি মাপা যায় না তা নির্ণয় করতে
    • Dfind the average of a set of dataকোনো তথ্যের গড় নির্ণয় করতে
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) find heights and distances that cannot be measured directly

    Trigonometry (Greek trigonon 'triangle' + metron 'measure') uses the sides and angles of triangles to find the height of a hill or tower or the width of a river without measuring them directly.

    ত্রিকোণমিতি (গ্রিক trigonon অর্থাৎ 'ত্রিভুজ' এবং metron অর্থাৎ 'পরিমাপ') ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক ব্যবহার করে পাহাড় বা স্তম্ভের উচ্চতা, নদীর প্রস্থ ইত্যাদি সরাসরি না মেপেই নির্ণয় করে।
  2. Q2easy

    In the sexagesimal system, 1° is equal to ____.

    ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1° = ____।
    • A3600″৩৬০০″
    • B60″৬০″
    • C360″৩৬০″
    • D100″১০০″
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 3600″

    1° = 60′ and 1′ = 60″, so 1° = 60 × 60″ = 3600″. 60″ is one minute, not one degree.

    1° = 60′ এবং 1′ = 60″, তাই 1° = 60 × 60″ = 3600″। ৬০″ হল এক মিনিট, এক ডিগ্রি নয়।
  3. Q3easy

    The angle subtended at the centre of a circle by an arc whose length is equal to the radius of the circle is called one ____.

    বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে এক ____ বলে।
    • Adegreeডিগ্রি
    • Bright angleসমকোণ
    • Cminuteমিনিট
    • Dradianরেডিয়ান
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) radian

    This is the definition of 1 radian (1ᶜ), the unit of the circular system. It is about 57°17′44.8″, so it is not a right angle.

    এটিই ১ রেডিয়ানের (1ᶜ) সংজ্ঞা, যা বৃত্তীয় পদ্ধতির একক। এর মান প্রায় 57°17′44.8″, তাই এটি সমকোণ নয়।
  4. Q4easy

    In the circular system, πᶜ is equal to ____.

    বৃত্তীয় পদ্ধতিতে πᶜ = ____।
    • A90°৯০°
    • B180°১৮০°
    • C360°৩৬০°
    • D60°৬০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 180°

    The whole circumference 2πr subtends 360° at the centre and contains 2π arcs of length r, so 2πᶜ = 360°, i.e. πᶜ = 180° (two right angles).

    সম্পূর্ণ পরিধি 2πr কেন্দ্রে 360° কোণ উৎপন্ন করে এবং তাতে r দৈর্ঘ্যের 2π-সংখ্যক চাপ আছে, তাই 2πᶜ = 360°, অর্থাৎ πᶜ = 180° (দুই সমকোণ)।
  5. Q5medium

    Which statement is correct?

    কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • AAn angle formed by rotating a ray anticlockwise is taken as positive.কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরালে উৎপন্ন কোণকে ধনাত্মক ধরা হয়।
    • B1 radian is greater than 60°.১ রেডিয়ান ৬০°-এর চেয়ে বড়ো।
    • CAn angle can never be greater than 360°.কোনো কোণ কখনোই ৩৬০°-এর চেয়ে বড়ো হতে পারে না।
    • DThe value of 1 radian depends on the radius of the circle.১ রেডিয়ানের মান বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে।
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) An angle formed by rotating a ray anticlockwise is taken as positive.

    Anticlockwise rotation gives a positive angle and clockwise rotation a negative one. 1 radian ≈ 57°17′45″ < 60°, a rotation can go beyond one full turn (e.g. 450°), and a radian is the same constant angle for every circle.

    ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণনে ধনাত্মক কোণ এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণনে ঋণাত্মক কোণ উৎপন্ন হয়। ১ রেডিয়ান ≈ 57°17′45″ < 60°, ঘূর্ণন একবার পূর্ণ আবর্তনের বেশিও হতে পারে (যেমন 450°), এবং রেডিয়ান সব বৃত্তের ক্ষেত্রে একই ধ্রুবক কোণ।
  6. Q6medium

    3π/5 radian expressed in the sexagesimal system is ____.

    3π/5 রেডিয়ানকে ষষ্টিক পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হয় ____।
    • A105°১০৫°
    • B120°১২০°
    • C72°৭২°
    • D108°১০৮°
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 108°

    πᶜ = 180°, so (3π/5)ᶜ = (3 × 180°)/5 = 108°. 72° would be 2π/5 and 120° would be 2π/3.

    πᶜ = 180°, তাই (3π/5)ᶜ = (3 × 180°)/5 = 108°। ৭২° হল 2π/5 এবং ১২০° হল 2π/3।
  7. Q7medium

    22°30′ in circular measure is ____.

    22°30′-কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হয় ____।
    • Aπ/6π/6
    • Bπ/8π/8
    • Cπ/12π/12
    • D3π/83π/8
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) π/8

    30′ = ½°, so 22°30′ = (45/2)°. Multiplying by π/180: (45/2) × π/180 = π/8 radian. Reading 22°30′ as 22.30° is the usual error.

    30′ = ½°, তাই 22°30′ = (45/2)°। π/180 দিয়ে গুণ করে পাই (45/2) × π/180 = π/8 রেডিয়ান। 22°30′-কে 22.30° ধরে নেওয়া একটি সাধারণ ভুল।
  8. Q8medium

    Match Column A (radian) with Column B (degree): (a) π/6, (b) π/4, (c) 5π/12; (i) 75°, (ii) 30°, (iii) 45°.

    স্তম্ভ ক (রেডিয়ান)-এর সঙ্গে স্তম্ভ খ (ডিগ্রি) মেলাও: (a) π/6, (b) π/4, (c) 5π/12; (i) ৭৫°, (ii) ৩০°, (iii) ৪৫°।
    • Aa-i, b-ii, c-iiia-i, b-ii, c-iii
    • Ba-ii, b-i, c-iiia-ii, b-i, c-iii
    • Ca-ii, b-iii, c-ia-ii, b-iii, c-i
    • Da-iii, b-ii, c-ia-iii, b-ii, c-i
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) a-ii, b-iii, c-i

    π/6 = 180°/6 = 30°, π/4 = 180°/4 = 45°, and 5π/12 = (5 × 180°)/12 = 75°. So a-ii, b-iii, c-i.

    π/6 = 180°/6 = 30°, π/4 = 180°/4 = 45° এবং 5π/12 = (5 × 180°)/12 = 75°। তাই a-ii, b-iii, c-i।
  9. Q9medium

    Through how many radians does the minute hand of a clock turn in 20 minutes?

    ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ২০ মিনিটে কত রেডিয়ান কোণ ঘোরে?
    • A2π/32π/3
    • Bπ/3π/3
    • Cπ/6π/6
    • D4π/34π/3
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 2π/3

    The minute hand turns 360° in 60 minutes, i.e. 6° per minute, so in 20 minutes it turns 120° = 120 × π/180 = 2π/3 radian. (It turns clockwise, so written with its sign the angle is −2π/3.)

    মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে 360° ঘোরে, অর্থাৎ প্রতি মিনিটে 6°; তাই ২০ মিনিটে ঘোরে 120° = 120 × π/180 = 2π/3 রেডিয়ান। (কাঁটাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরে, তাই চিহ্নসহ লিখলে কোণটি −2π/3।)
  10. Q10medium

    In a circle of radius 14 cm, an arc of length 22 cm subtends an angle at the centre. The angle in radians is (π = 22/7) ____.

    ১৪ cm ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ২২ cm দৈর্ঘ্যের একটি চাপ কেন্দ্রে একটি কোণ উৎপন্ন করে। রেডিয়ানে কোণটির মান (π = 22/7) ____।
    • Aπ/4π/4
    • Bπ/3π/3
    • C2π/32π/3
    • Dπ/2π/2
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) π/2

    θ = s/r = 22/14 = 11/7 radian. With π = 22/7, π/2 = 11/7, so θ = π/2 (= 90°); indeed 22 cm is a quarter of the circumference 2 × (22/7) × 14 = 88 cm.

    θ = s/r = 22/14 = 11/7 রেডিয়ান। π = 22/7 ধরলে π/2 = 11/7, তাই θ = π/2 (= 90°); সত্যিই ২২ cm হল পরিধি 2 × (22/7) × 14 = 88 cm-এর এক-চতুর্থাংশ।
  11. Q11hard

    Two angles of a triangle are 47°21′36″ and 52°38′24″. The third angle in circular measure is ____.

    একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ 47°21′36″ এবং 52°38′24″। তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান ____।
    • A5π/95π/9
    • B4π/94π/9
    • C2π/92π/9
    • D7π/187π/18
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 4π/9

    Sum = 47°21′36″ + 52°38′24″ = 99°59′60″ = 100°. Third angle = 180° − 100° = 80° = 80 × π/180 = 4π/9. 5π/9 (= 100°) is the sum of the two given angles.

    যোগফল = 47°21′36″ + 52°38′24″ = 99°59′60″ = 100°। তৃতীয় কোণ = 180° − 100° = 80° = 80 × π/180 = 4π/9। 5π/9 (= 100°) হল প্রদত্ত কোণ দুটির যোগফল।
  12. Q12hard

    The difference between the two acute angles of a right-angled triangle is π/5 radian. The two acute angles are ____.

    একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর π/5 রেডিয়ান। সূক্ষ্মকোণ দুটি ____।
    • A54° and 36°৫৪° ও ৩৬°
    • B72° and 18°৭২° ও ১৮°
    • C63° and 27°৬৩° ও ২৭°
    • D60° and 30°৬০° ও ৩০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 63° and 27°

    π/5 = 180°/5 = 36°. If the angles are x and y, x + y = 90° and x − y = 36°, so 2x = 126°, x = 63° and y = 27°. Check: 63° + 27° = 90° and 63° − 27° = 36°.

    π/5 = 180°/5 = 36°। কোণ দুটি x ও y হলে x + y = 90° এবং x − y = 36°, তাই 2x = 126°, x = 63° এবং y = 27°। যাচাই: 63° + 27° = 90° এবং 63° − 27° = 36°।

Want the full set? Practise all 12 Trigonometry: Concept of Measurement of Angle (ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা) questions →

← All Mathematics (গণিত) chapters