Similarity (সদৃশতা)

This chapter has

Similarity (সদৃশতা) — quick revision notes

Two figures are similar when they have the same shape but not necessarily the same size: corresponding angles are equal and corresponding sides are proportional. For triangles either condition alone is enough, and the chapter uses the parallel-line (basic proportionality) theorem, the equiangular, SSS and SAS conditions and the right-triangle result to find unknown lengths.

• Two polygons with the same number of sides are similar if corresponding angles are equal AND corresponding sides are proportional; congruent figures are always similar, but not conversely.সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি অনুরূপ কোণগুলি সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়; সর্বসম চিত্র সর্বদা সদৃশ, কিন্তু সদৃশ চিত্র সর্বদা সর্বসম নয়।
• All circles, all squares and all equilateral triangles are similar; two rectangles or two rhombuses need not be.সব বৃত্ত, সব বর্গক্ষেত্র এবং সব সমবাহু ত্রিভুজ সদৃশ; কিন্তু দুটি আয়তক্ষেত্র বা দুটি রম্বস সদৃশ না-ও হতে পারে।
• A line parallel to one side of a triangle divides the other two sides in the same ratio: if DE ∥ BC, then AD/DB = AE/EC (the converse is also true).ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে: DE ∥ BC হলে AD/DB = AE/EC (বিপরীত উপপাদ্যটিও সত্য)।
• If two triangles are equiangular, their corresponding sides are proportional; two pairs of equal angles are enough.দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী; দুই জোড়া কোণ সমান হলেই যথেষ্ট।
• If the sides of two triangles are proportional, their corresponding angles are equal, so the triangles are similar.দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলি সমানুপাতী হলে তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়, অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।
• SAS: if one angle of a triangle equals one angle of another and the sides including these angles are proportional, the triangles are similar.বাহু-কোণ-বাহু: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ অপর ত্রিভুজের একটি কোণের সমান এবং ওই কোণ দুটির সংলগ্ন বাহুগুলি সমানুপাতী হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।
• In ΔABC with ∠A = 90° and AD ⊥ BC, ΔDBA ~ ΔABC ~ ΔDAC (proof required), so AD² = BD·DC, AB² = BD·BC and AC² = CD·CB.ΔABC-এ ∠A = 90° এবং AD ⊥ BC হলে ΔDBA ~ ΔABC ~ ΔDAC (প্রমাণ শিখতে হবে); ফলে AD² = BD·DC, AB² = BD·BC এবং AC² = CD·CB।
• Write similar triangles in matching vertex order (ΔABC ~ ΔDEF means A↔D, B↔E, C↔F) before writing the ratios.অনুপাত লেখার আগে শীর্ষবিন্দুগুলি মিলিয়ে লেখো (ΔABC ~ ΔDEF মানে A↔D, B↔E, C↔F)।

Exam tip: Geometry 1-mark items often ask for a missing length using DE ∥ BC or ΔABC ~ ΔDEF, or a true/false such as 'all squares are similar'. The theorem 'the perpendicular from the right-angled vertex to the hypotenuse makes two triangles similar to each other and to the whole triangle' is the one proof from this chapter that can come as a long answer.জ্যামিতির ১ নম্বরের প্রশ্নে প্রায়ই DE ∥ BC বা ΔABC ~ ΔDEF ব্যবহার করে অজানা দৈর্ঘ্য, কিংবা 'সব বর্গক্ষেত্র সদৃশ'-এর মতো সত্য/মিথ্যা আসে। 'সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুই পাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সদৃশ' — এই অধ্যায়ের এই উপপাদ্যটির প্রমাণ দীর্ঘ উত্তরের প্রশ্নে আসতে পারে।

Similarity (সদৃশতা) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   Two polygons with the same number of sides but of different sizes are similar if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are ____.

   সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট কিন্তু ভিন্ন আকারের দুটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয় এবং অনুরূপ বাহুগুলি ____ হয়।
   • Aequalসমান
   • Bproportionalসমানুপাতী
   • Cparallelসমান্তরাল
   • Dperpendicularপরস্পর লম্ব
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) proportional

   For similar polygons both conditions are needed: equal corresponding angles and proportional (not necessarily equal) corresponding sides. Polygons of different sizes cannot have equal sides — equal sides would make them congruent.

   সদৃশ বহুভুজের ক্ষেত্রে দুটি শর্তই দরকার: অনুরূপ কোণগুলি সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী (সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই)। ভিন্ন আকারের বহুভুজের বাহুগুলি সমান হতে পারে না — বাহুগুলি সমান হলে বহুভুজ দুটি সর্বসম হত।
2. Q2easy

   Which statement is correct?

   কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AAny two rectangles are similar.যে-কোনো দুটি আয়তক্ষেত্র সদৃশ।
   • BAny two rhombuses are similar.যে-কোনো দুটি রম্বস সদৃশ।
   • CAny two isosceles triangles are similar.যে-কোনো দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ সদৃশ।
   • DAny two squares are similar.যে-কোনো দুটি বর্গক্ষেত্র সদৃশ।
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) Any two squares are similar.

   Every angle of a square is 90° and its four sides are equal, so for two squares all side ratios are the same — any two squares are similar. Rectangles can differ in their length-to-breadth ratio, rhombuses in their angles, and isosceles triangles in their vertical angle.

   বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ 90° এবং চারটি বাহু সমান, তাই দুটি বর্গক্ষেত্রের অনুরূপ বাহুর অনুপাত সর্বত্র এক — যে-কোনো দুটি বর্গক্ষেত্র সদৃশ। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত, রম্বসের কোণ এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ আলাদা হতে পারে।
3. Q3easy

   In ΔABC, D and E are points on AB and AC such that DE ∥ BC. If AD = 3 cm, DB = 2 cm and AE = 4.5 cm, then EC = ____.

   ΔABC-এর AB ও AC বাহুর উপর D ও E এমন দুটি বিন্দু যে DE ∥ BC। AD = ৩ cm, DB = ২ cm এবং AE = ৪.৫ cm হলে EC = ____।
   • A3 cm৩ cm
   • B2 cm২ cm
   • C6.75 cm৬.৭৫ cm
   • D4.5 cm৪.৫ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 3 cm

   DE ∥ BC, so AD/DB = AE/EC: 3/2 = 4.5/EC, hence EC = (4.5 × 2)/3 = 3 cm. Turning one ratio upside down (2/3 = 4.5/EC) gives the wrong value 6.75 cm.

   DE ∥ BC, তাই AD/DB = AE/EC: 3/2 = 4.5/EC, অর্থাৎ EC = (4.5 × 2)/3 = 3 cm। একটি অনুপাত উলটে লিখলে (2/3 = 4.5/EC) ভুল মান ৬.৭৫ cm আসে।
4. Q4easy

   Two triangles whose corresponding angles are equal are called ____ triangles; their corresponding sides are proportional.

   যে দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান তাদের ____ ত্রিভুজ বলে; তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী।
   • Acongruentসর্বসম
   • Bisoscelesসমদ্বিবাহু
   • Cequiangularসদৃশকোণী
   • Dright-angledসমকোণী
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) equiangular

   Triangles with equal corresponding angles are equiangular, and equiangular triangles have proportional corresponding sides, so they are similar. Congruent triangles would need equal sides as well.

   যে ত্রিভুজগুলির অনুরূপ কোণগুলি সমান তারা সদৃশকোণী; সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী, তাই তারা সদৃশ। সর্বসম হতে হলে বাহুগুলিও সমান হতে হয়।
5. Q5medium

   In ΔPQR, S and T are points on PQ and PR. If PS = 4 cm, SQ = 6 cm, PT = 6 cm and TR = 9 cm, which is true?

   ΔPQR-এর PQ ও PR বাহুর উপর S ও T দুটি বিন্দু। PS = ৪ cm, SQ = ৬ cm, PT = ৬ cm এবং TR = ৯ cm হলে কোনটি সত্য?
   • AST ⊥ QRST ⊥ QR
   • BST ∥ QRST ∥ QR
   • CST = QRST = QR
   • DS is the midpoint of PQS হল PQ-এর মধ্যবিন্দু
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) ST ∥ QR

   PS/SQ = 4/6 = 2/3 and PT/TR = 6/9 = 2/3. As ST divides the two sides in the same ratio, by the converse of the parallel-line theorem ST ∥ QR. Here ST = (2/5)QR, not equal to QR.

   PS/SQ = 4/6 = 2/3 এবং PT/TR = 6/9 = 2/3। ST সরলরেখা দুটি বাহুকে একই অনুপাতে বিভক্ত করেছে, তাই বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী ST ∥ QR। এখানে ST = (2/5)QR, QR-এর সমান নয়।
6. Q6medium

   ΔABC ~ ΔDEF. If AB = 6 cm, BC = 8 cm and DE = 9 cm, then EF = ____.

   ΔABC ~ ΔDEF। AB = ৬ cm, BC = ৮ cm এবং DE = ৯ cm হলে EF = ____।
   • A11 cm১১ cm
   • B6 cm৬ cm
   • C16 cm১৬ cm
   • D12 cm১২ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 12 cm

   Corresponding sides of similar triangles are proportional: AB/DE = BC/EF, so 6/9 = 8/EF and EF = (8 × 9)/6 = 12 cm. Adding the difference (8 + 3 = 11) is a common wrong method.

   সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী: AB/DE = BC/EF, তাই 6/9 = 8/EF এবং EF = (8 × 9)/6 = 12 cm। অন্তর যোগ করা (8 + 3 = 11) একটি সাধারণ ভুল পদ্ধতি।
7. Q7medium

   In ΔABC and ΔDEF, ∠A = ∠D, AB = 4 cm, AC = 6 cm, DE = 6 cm, DF = 9 cm and BC = 5 cm. Then EF = ____.

   ΔABC ও ΔDEF-এ ∠A = ∠D, AB = ৪ cm, AC = ৬ cm, DE = ৬ cm, DF = ৯ cm এবং BC = ৫ cm। তাহলে EF = ____।
   • A7.5 cm৭.৫ cm
   • B7 cm৭ cm
   • C10 cm১০ cm
   • D6 cm৬ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 7.5 cm

   AB/DE = 4/6 = 2/3 and AC/DF = 6/9 = 2/3, and the included angles ∠A = ∠D, so ΔABC ~ ΔDEF (SAS). Hence BC/EF = 2/3, giving EF = 5 × 3/2 = 7.5 cm.

   AB/DE = 4/6 = 2/3 এবং AC/DF = 6/9 = 2/3, আর অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠A = ∠D, তাই বাহু-কোণ-বাহু শর্তে ΔABC ~ ΔDEF। সুতরাং BC/EF = 2/3, অর্থাৎ EF = 5 × 3/2 = 7.5 cm।
8. Q8medium

   The sides of ΔABC are 4 cm, 6 cm and 8 cm, and the sides of ΔPQR are 6 cm, 9 cm and 12 cm. Which statement is correct?

   ΔABC-এর বাহুগুলি ৪ cm, ৬ cm ও ৮ cm এবং ΔPQR-এর বাহুগুলি ৬ cm, ৯ cm ও ১২ cm। কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AThe triangles are congruent.ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
   • BThe triangles are not similar, as their sides are unequal.বাহুগুলি অসমান বলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ নয়।
   • CThe triangles are similar, and the sides of ΔABC and ΔPQR are in the ratio 2 : 3.ত্রিভুজ দুটি সদৃশ এবং ΔABC ও ΔPQR-এর বাহুগুলির অনুপাত 2 : 3।
   • DThe triangles are similar, and the sides of ΔABC and ΔPQR are in the ratio 3 : 2.ত্রিভুজ দুটি সদৃশ এবং ΔABC ও ΔPQR-এর বাহুগুলির অনুপাত 3 : 2।
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) The triangles are similar, and the sides of ΔABC and ΔPQR are in the ratio 2 : 3.

   4/6 = 6/9 = 8/12 = 2/3, so the sides are proportional; triangles with proportional sides are equiangular and hence similar, with ΔABC : ΔPQR side ratio 2 : 3. Similar figures need not be equal in size.

   4/6 = 6/9 = 8/12 = 2/3, তাই বাহুগুলি সমানুপাতী; বাহুগুলি সমানুপাতী হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী, অর্থাৎ সদৃশ, এবং ΔABC ও ΔPQR-এর বাহুর অনুপাত 2 : 3। সদৃশ চিত্রের আকার সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই।
9. Q9medium

   In ΔABC, ∠BAC = 90° and AD ⊥ BC. If BD = 4 cm and DC = 9 cm, then AD = ____.

   ΔABC-এ ∠BAC = 90° এবং AD ⊥ BC। BD = ৪ cm ও DC = ৯ cm হলে AD = ____।
   • A6.5 cm৬.৫ cm
   • B6 cm৬ cm
   • C13 cm১৩ cm
   • D36 cm৩৬ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 6 cm

   ΔDBA ~ ΔDAC, so BD/AD = AD/DC, i.e. AD² = BD · DC = 4 × 9 = 36 and AD = 6 cm. 36 is AD², 13 is BC and 6.5 is half of BC.

   ΔDBA ~ ΔDAC, তাই BD/AD = AD/DC, অর্থাৎ AD² = BD · DC = 4 × 9 = 36 এবং AD = 6 cm। ৩৬ হল AD², ১৩ হল BC আর ৬.৫ হল BC-এর অর্ধেক।
10. Q10medium

    At the same time of day, a vertical pole 6 m tall casts a shadow 4 m long and a tower casts a shadow 28 m long. The height of the tower is ____.

    দিনের একই সময়ে ৬ m উঁচু একটি খাড়া খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৪ m এবং একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য ২৮ m। স্তম্ভটির উচ্চতা ____।
    • A56 m৫৬ m
    • B30 m৩০ m
    • C36 m৩৬ m
    • D42 m৪২ m
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 42 m

    The sun's rays make equal angles with the ground, so the pole–shadow and tower–shadow triangles are equiangular and similar: h/28 = 6/4, giving h = 28 × 6/4 = 42 m. Adding the difference (28 + 2 = 30 m) is wrong.

    সূর্যরশ্মি মাটির সঙ্গে সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাই খুঁটি-ছায়া ও স্তম্ভ-ছায়ার ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী, অর্থাৎ সদৃশ: h/28 = 6/4, অতএব h = 28 × 6/4 = 42 m। অন্তর যোগ করা (28 + 2 = 30 m) ভুল।
11. Q11hard

    In ΔABC, ∠BAC = 90° and AD ⊥ BC. If BD = 9 cm and DC = 16 cm, then AB = ____.

    ΔABC-এ ∠BAC = 90° এবং AD ⊥ BC। BD = ৯ cm ও DC = ১৬ cm হলে AB = ____।
    • A12 cm১২ cm
    • B20 cm২০ cm
    • C15 cm১৫ cm
    • D25 cm২৫ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 15 cm

    ΔDBA ~ ΔABC, so BD/AB = AB/BC, i.e. AB² = BD · BC = 9 × 25 = 225 and AB = 15 cm. Check: AD = √(9 × 16) = 12 cm, AC² = 16 × 25 = 400 ⇒ AC = 20 cm, and 15² + 20² = 25².

    ΔDBA ~ ΔABC, তাই BD/AB = AB/BC, অর্থাৎ AB² = BD · BC = 9 × 25 = 225 এবং AB = 15 cm। যাচাই: AD = √(9 × 16) = 12 cm, AC² = 16 × 25 = 400 ⇒ AC = 20 cm এবং 15² + 20² = 25²।
12. Q12hard

    In ΔABC, D is on AB and E is on AC such that DE ∥ BC. If AD : DB = 2 : 3 and DE = 4 cm, then BC = ____.

    ΔABC-এর AB-এর উপর D এবং AC-এর উপর E এমন যে DE ∥ BC। AD : DB = 2 : 3 এবং DE = ৪ cm হলে BC = ____।
    • A10 cm১০ cm
    • B6 cm৬ cm
    • C9 cm৯ cm
    • D12 cm১২ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 10 cm

    DE ∥ BC makes ΔADE ~ ΔABC, so DE/BC = AD/AB = 2/(2 + 3) = 2/5. Hence BC = 4 × 5/2 = 10 cm. Using AD/DB = 2/3 instead gives the wrong value 6 cm.

    DE ∥ BC হওয়ায় ΔADE ~ ΔABC, তাই DE/BC = AD/AB = 2/(2 + 3) = 2/5। অতএব BC = 4 × 5/2 = 10 cm। AD/DB = 2/3 ব্যবহার করলে ভুল মান ৬ cm আসে।

Want the full set? Practise all 12 Similarity (সদৃশতা) questions →