Application of Trigonometric Ratios: Heights and Distances (ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব)

This chapter has

Application of Trigonometric Ratios: Heights and Distances (ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব) — quick revision notes

Heights and distances uses trigonometric ratios in right-angled triangles to find the heights of towers, trees and poles, and the distances between objects, without measuring them directly. The angle of elevation (looking up) and the angle of depression (looking down) are always measured from the horizontal line through the observer's eye.

• Angle of elevation: the angle between the line of sight and the horizontal when the object is above the observer's eye level.উন্নতি কোণ: বস্তু পর্যবেক্ষকের চোখের সমতলের উপরে থাকলে দৃষ্টিরেখা ও অনুভূমিক রেখার মধ্যবর্তী কোণ।
• Angle of depression: the angle between the line of sight and the horizontal when the object is below the observer's eye level.অবনতি কোণ: বস্তু পর্যবেক্ষকের চোখের সমতলের নীচে থাকলে দৃষ্টিরেখা ও অনুভূমিক রেখার মধ্যবর্তী কোণ।
• The angle of elevation of P from Q equals the angle of depression of Q from P (alternate angles between parallel horizontal lines).Q থেকে P-এর উন্নতি কোণ = P থেকে Q-এর অবনতি কোণ (সমান্তরাল অনুভূমিক রেখার একান্তর কোণ)।
• Values to remember: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 60° = cos 30° = √3/2.মনে রাখার মান: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 60° = cos 30° = √3/2।
• With a height and a horizontal distance use tan θ = height/distance; with a slanted length (ladder, kite string) use sin θ = height/length.উচ্চতা ও অনুভূমিক দূরত্ব জড়িত হলে tan θ = উচ্চতা/দূরত্ব; হেলানো দৈর্ঘ্য (মই, ঘুড়ির সুতো) দেওয়া থাকলে sin θ = উচ্চতা/দৈর্ঘ্য।
• Moving towards a tower increases the angle of elevation of its top; moving away decreases it.স্তম্ভের দিকে এগোলে চূড়ার উন্নতি কোণ বাড়ে, দূরে সরলে কমে।
• If the shadow of a pole equals its height, the sun's elevation is 45°; shadow = √3 × height gives 30°; height = √3 × shadow gives 60°.খুঁটির ছায়া উচ্চতার সমান হলে সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫°; ছায়া = √3 × উচ্চতা হলে ৩০°; উচ্চতা = √3 × ছায়া হলে ৬০°।
• With two angles of elevation from points on the same side, take the unknown distance as x, write two tan equations and solve them together.একই পাশের দুটি বিন্দু থেকে দুটি উন্নতি কোণ দেওয়া থাকলে অজানা দূরত্ব x ধরে দুটি tan-সমীকরণ লিখে একসঙ্গে সমাধান করো।

Exam tip: Heights and distances regularly gets the 5-mark long problem (towers, ladders or two angles of elevation); it can also supply one of the Trigonometry 1-mark MCQ, fill-in or true/false items (shadow equal to height means 45°, angle of elevation = angle of depression) or a 2-mark short answer. Draw a neat right-angled triangle, mark the angle from the horizontal, and leave the answer in √3 form unless √3 = 1.732 is given.উচ্চতা ও দূরত্ব অধ্যায় থেকে নিয়মিত ৫ নম্বরের একটি দীর্ঘ সমস্যা (স্তম্ভ, মই বা দুটি উন্নতি কোণ) আসে; এছাড়া ত্রিকোণমিতির ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যা (ছায়া উচ্চতার সমান হলে উন্নতি কোণ ৪৫°, উন্নতি কোণ = অবনতি কোণ) কিংবা ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নও এই অধ্যায় থেকে আসতে পারে। পরিষ্কার সমকোণী ত্রিভুজ এঁকে অনুভূমিক রেখা থেকে কোণ চিহ্নিত করবে এবং √3 = 1.732 দেওয়া না থাকলে উত্তর √3 রূপেই রাখবে।

Application of Trigonometric Ratios: Heights and Distances (ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   When an observer looks up at an object above his or her eye level, the angle between the line of sight and the horizontal line through the eye is called the ____.

   পর্যবেক্ষক তাঁর চোখের সমতলের উপরে থাকা কোনো বস্তুর দিকে তাকালে দৃষ্টিরেখা ও চোখ দিয়ে যাওয়া অনুভূমিক রেখার মধ্যে উৎপন্ন কোণকে ____ বলে।
   • Aangle of depressionঅবনতি কোণ
   • Bcomplementary angleপূরক কোণ
   • Cangle of elevationউন্নতি কোণ
   • Dreflex angleপ্রবৃদ্ধ কোণ
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) angle of elevation

   Looking up at an object above eye level, the angle the line of sight makes with the horizontal is the angle of elevation. Looking down at an object below eye level gives the angle of depression.

   চোখের সমতলের উপরের বস্তুর দিকে তাকালে দৃষ্টিরেখা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোণ তৈরি করে তা উন্নতি কোণ। চোখের সমতলের নীচের বস্তুর দিকে তাকালে যে কোণ তৈরি হয় তা অবনতি কোণ।
2. Q2easy

   Which statement is correct?

   নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
   • AThe angle of elevation of a point P from a lower point Q is equal to the angle of depression of Q from P.নীচের বিন্দু Q থেকে P বিন্দুর উন্নতি কোণ এবং P থেকে Q বিন্দুর অবনতি কোণ সমান।
   • BThe angle of depression is measured from the vertical line through the observer's eye.অবনতি কোণ পর্যবেক্ষকের চোখ দিয়ে যাওয়া উল্লম্ব রেখা থেকে মাপা হয়।
   • CThe angle of elevation of the top of a tower increases as the observer moves away from the tower.পর্যবেক্ষক স্তম্ভ থেকে দূরে সরে গেলে স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ বাড়ে।
   • DAn angle of elevation can be greater than 90°.উন্নতি কোণ ৯০°-এর বেশি হতে পারে।
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) The angle of elevation of a point P from a lower point Q is equal to the angle of depression of Q from P.

   The horizontal lines through P and Q are parallel and PQ is a transversal, so the angle of elevation and the angle of depression are equal alternate angles. Depression is measured from the horizontal, the elevation decreases as you move away, and an angle of elevation is always an acute angle (less than 90°).

   P ও Q দিয়ে যাওয়া অনুভূমিক রেখা দুটি সমান্তরাল এবং PQ একটি ছেদক, তাই উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ পরস্পর সমান একান্তর কোণ। অবনতি কোণ অনুভূমিক রেখা থেকে মাপা হয়, দূরে সরলে উন্নতি কোণ কমে যায় এবং উন্নতি কোণ সর্বদা সূক্ষ্মকোণ (৯০°-এর কম)।
3. Q3easy

   From a point on the ground 20 m away from the foot of a tower, the angle of elevation of the top of the tower is 45°. The height of the tower is

   একটি স্তম্ভের পাদদেশ থেকে ২০ m দূরে ভূমির উপর একটি বিন্দু থেকে স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ ৪৫°। স্তম্ভটির উচ্চতা
   • A10 m১০ m
   • B20 m২০ m
   • C20√3 m20√3 m
   • D20/√3 m20/√3 m
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 20 m

   tan 45° = height/distance, so 1 = h/20 and h = 20 m. When the angle of elevation is 45°, the height equals the horizontal distance.

   tan 45° = উচ্চতা/দূরত্ব, অর্থাৎ 1 = h/20, তাই h = 20 m। উন্নতি কোণ ৪৫° হলে উচ্চতা ও অনুভূমিক দূরত্ব সমান হয়।
4. Q4easy

   If the length of the shadow of a vertical pole is equal to its height, the angle of elevation of the sun is ____.

   একটি উল্লম্ব খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য খুঁটির উচ্চতার সমান হলে সূর্যের উন্নতি কোণ ____।
   • A30°৩০°
   • B60°৬০°
   • C90°৯০°
   • D45°৪৫°
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 45°

   tan θ = height/shadow = h/h = 1, and tan 45° = 1, so θ = 45°.

   tan θ = উচ্চতা/ছায়ার দৈর্ঘ্য = h/h = 1; যেহেতু tan 45° = 1, তাই θ = 45°।
5. Q5medium

   From a point on the ground 30 m away from the foot of a tower, the angle of elevation of its top is 60°. The height of the tower is

   একটি স্তম্ভের পাদদেশ থেকে ৩০ m দূরে ভূমির একটি বিন্দু থেকে স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ ৬০°। স্তম্ভটির উচ্চতা
   • A30√3 m30√3 m
   • B10√3 m10√3 m
   • C30 m৩০ m
   • D60 m৬০ m
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 30√3 m

   tan 60° = h/30, so h = 30 × √3 = 30√3 m (about 51.96 m). 10√3 m comes from wrongly using tan 30° = 1/√3.

   tan 60° = h/30, তাই h = 30 × √3 = 30√3 m (প্রায় ৫১.৯৬ m)। ভুল করে tan 30° = 1/√3 নিলে 10√3 m উত্তর আসে।
6. Q6medium

   From the top of a lighthouse 75 m high, the angle of depression of a boat on the sea is 30°. The distance of the boat from the foot of the lighthouse is

   ৭৫ m উঁচু একটি বাতিঘরের চূড়া থেকে সমুদ্রে একটি নৌকার অবনতি কোণ ৩০°। বাতিঘরের পাদদেশ থেকে নৌকাটির দূরত্ব
   • A75 m৭৫ m
   • B25√3 m25√3 m
   • C75√3 m75√3 m
   • D150 m১৫০ m
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 75√3 m

   The angle of elevation of the top from the boat is also 30°, so tan 30° = 75/d, i.e. 1/√3 = 75/d and d = 75√3 m. 25√3 m (= 75/√3) comes from using tan 60°, and 150 m is the length of the line of sight.

   নৌকা থেকে বাতিঘরের চূড়ার উন্নতি কোণও ৩০°, তাই tan 30° = 75/d, অর্থাৎ 1/√3 = 75/d এবং d = 75√3 m। tan 60° নিলে 25√3 m (= 75/√3) আসে, আর ১৫০ m হল দৃষ্টিরেখার দৈর্ঘ্য।
7. Q7medium

   A ladder 20 m long rests against a vertical wall and makes an angle of 60° with the ground. The height of the point where the ladder touches the wall is

   ২০ m লম্বা একটি মই একটি উল্লম্ব দেওয়ালে হেলান দিয়ে ভূমির সঙ্গে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে আছে। মইটি দেওয়ালের যে বিন্দু স্পর্শ করেছে, ভূমি থেকে তার উচ্চতা
   • A10 m১০ m
   • B10√3 m10√3 m
   • C20√3 m20√3 m
   • D5√3 m5√3 m
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 10√3 m

   The ladder is the hypotenuse, so height = 20 × sin 60° = 20 × √3/2 = 10√3 m. 10 m (= 20 × cos 60°) is the distance of the foot of the ladder from the wall.

   মইটি অতিভুজ, তাই উচ্চতা = 20 × sin 60° = 20 × √3/2 = 10√3 m। ১০ m (= 20 × cos 60°) হল দেওয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব।
8. Q8medium

   A kite is flying on a straight, tight string 100 m long. If the string makes an angle of 30° with the horizontal ground, the height of the kite above the ground is

   ১০০ m লম্বা টানটান সোজা সুতোয় একটি ঘুড়ি উড়ছে। সুতোটি অনুভূমিক ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণ উৎপন্ন করলে ভূমি থেকে ঘুড়িটির উচ্চতা
   • A50√3 m50√3 m
   • B100√3 m100√3 m
   • C25 m২৫ m
   • D50 m৫০ m
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 50 m

   The string is the hypotenuse, so height = 100 × sin 30° = 100 × 1/2 = 50 m. 50√3 m (= 100 × cos 30°) is the horizontal distance, not the height.

   সুতোটি অতিভুজ, তাই উচ্চতা = 100 × sin 30° = 100 × 1/2 = 50 m। 50√3 m (= 100 × cos 30°) হল অনুভূমিক দূরত্ব, উচ্চতা নয়।
9. Q9medium

   Match the columns for a vertical pole and its shadow on level ground. Column A: (a) shadow = height, (b) shadow = √3 × height, (c) height = √3 × shadow. Column B (angle of elevation of the sun): (i) 30°, (ii) 45°, (iii) 60°.

   সমতল ভূমিতে একটি উল্লম্ব খুঁটি ও তার ছায়ার ক্ষেত্রে স্তম্ভ মেলাও। স্তম্ভ A: (a) ছায়ার দৈর্ঘ্য = উচ্চতা, (b) ছায়ার দৈর্ঘ্য = √3 × উচ্চতা, (c) উচ্চতা = √3 × ছায়ার দৈর্ঘ্য। স্তম্ভ B (সূর্যের উন্নতি কোণ): (i) ৩০°, (ii) ৪৫°, (iii) ৬০°।
   • Aa-ii, b-iii, c-ia-ii, b-iii, c-i
   • Ba-i, b-ii, c-iiia-i, b-ii, c-iii
   • Ca-ii, b-i, c-iiia-ii, b-i, c-iii
   • Da-iii, b-i, c-iia-iii, b-i, c-ii
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) a-ii, b-i, c-iii

   tan θ = height/shadow. (a) h/h = 1 gives 45°; (b) h/(√3h) = 1/√3 gives 30°; (c) √3s/s = √3 gives 60°. So a-ii, b-i, c-iii.

   tan θ = উচ্চতা/ছায়ার দৈর্ঘ্য। (a) h/h = 1 ⇒ ৪৫°; (b) h/(√3h) = 1/√3 ⇒ ৩০°; (c) √3s/s = √3 ⇒ ৬০°। তাই a-ii, b-i, c-iii।
10. Q10medium

    A vertical pole is 6 m high. When the angle of elevation of the sun changes from 45° to 30°, by how much does the length of its shadow increase?

    একটি উল্লম্ব খুঁটির উচ্চতা ৬ m। সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫° থেকে কমে ৩০° হলে খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য কত বাড়বে?
    • A6√3 m6√3 m
    • B6(√3 − 1) m6(√3 − 1) m
    • C6(√3 + 1) m6(√3 + 1) m
    • D2√3 m2√3 m
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 6(√3 − 1) m

    Shadow = height/tan θ. At 45° the shadow is 6/1 = 6 m; at 30° it is 6/(1/√3) = 6√3 m. Increase = 6√3 − 6 = 6(√3 − 1) m (about 4.39 m); 6√3 m is the new shadow, not the increase.

    ছায়ার দৈর্ঘ্য = উচ্চতা/tan θ। ৪৫° কোণে ছায়া = 6/1 = 6 m; ৩০° কোণে ছায়া = 6/(1/√3) = 6√3 m। বৃদ্ধি = 6√3 − 6 = 6(√3 − 1) m (প্রায় ৪.৩৯ m); 6√3 m হল নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য, বৃদ্ধি নয়।
11. Q11hard

    From two points on level ground, on the same side of a tower and in a straight line with its foot, the angles of elevation of the top of the tower are 60° and 30°. If the two points are 40 m apart, the height of the tower is

    একটি স্তম্ভের একই পাশে এবং তার পাদদেশের সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ভূমির দুটি বিন্দু থেকে স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ ৬০° ও ৩০°। বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব ৪০ m হলে স্তম্ভটির উচ্চতা
    • A40√3 m40√3 m
    • B20 m২০ m
    • C10√3 m10√3 m
    • D20√3 m20√3 m
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 20√3 m

    Let the nearer point be x m from the foot. tan 60° = h/x gives h = √3x; tan 30° = h/(x + 40) gives h = (x + 40)/√3. So 3x = x + 40, x = 20 m and h = 20√3 m (about 34.64 m); 20 m is only the distance x.

    ধরি কাছের বিন্দুটি পাদদেশ থেকে x m দূরে। tan 60° = h/x ⇒ h = √3x; tan 30° = h/(x + 40) ⇒ h = (x + 40)/√3। তাই 3x = x + 40, x = 20 m এবং h = 20√3 m (প্রায় ৩৪.৬৪ m); ২০ m কেবল দূরত্ব x।
12. Q12hard

    From the top of a building 60 m high, the angles of depression of the top and the foot of a tower standing on the same level ground are 30° and 60° respectively. The height of the tower is

    ৬০ m উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে একই সমতল ভূমিতে দাঁড়িয়ে থাকা একটি স্তম্ভের চূড়া ও পাদদেশের অবনতি কোণ যথাক্রমে ৩০° ও ৬০°। স্তম্ভটির উচ্চতা
    • A40 m৪০ m
    • B20 m২০ m
    • C20√3 m20√3 m
    • D30 m৩০ m
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 40 m

    Distance between them: tan 60° = 60/d, so d = 60/√3 = 20√3 m. Drop from the roof to the tower's top = d × tan 30° = 20√3 × 1/√3 = 20 m. Tower height = 60 − 20 = 40 m; 20 m is only the drop, not the height.

    দূরত্ব: tan 60° = 60/d, তাই d = 60/√3 = 20√3 m। ছাদ থেকে স্তম্ভের চূড়া পর্যন্ত উল্লম্ব ব্যবধান = d × tan 30° = 20√3 × 1/√3 = 20 m। স্তম্ভের উচ্চতা = 60 − 20 = 40 m; ২০ m কেবল ওই ব্যবধান, উচ্চতা নয়।

Want the full set? Practise all 12 Application of Trigonometric Ratios: Heights and Distances (ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব) questions →