Theorems related to Tangent to a Circle (বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য)

This chapter has

Theorems related to Tangent to a Circle (বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য) — quick revision notes

A tangent is a straight line that meets a circle at exactly one point (the point of contact), while a secant cuts it at two points. The key theorems are: the tangent is perpendicular to the radius through the point of contact; the two tangents from an external point are equal and subtend equal angles at the centre; and when two circles touch, their centres and the point of contact are collinear.

• Tangent: meets the circle at only one point (the point of contact); secant: cuts the circle at two points.স্পর্শক: বৃত্তকে কেবল একটি বিন্দুতে (স্পর্শবিন্দুতে) স্পর্শ করে; ছেদক: বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
• From a point inside a circle no tangent can be drawn; from a point on the circle exactly one; from an external point exactly two.বৃত্তের ভিতরের কোনো বিন্দু থেকে কোনো স্পর্শক টানা যায় না; বৃত্তের উপরের বিন্দু থেকে ঠিক একটি এবং বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঠিক দুটি স্পর্শক টানা যায়।
• The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact (so the perpendicular to the tangent at that point passes through the centre).বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব (তাই স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী)।
• The two tangents drawn from an external point are equal in length and subtend equal angles at the centre; the line joining the point to the centre bisects the angle between the tangents.বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে; বিন্দুটি ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• Length of the tangent from a point at distance d from the centre of a circle of radius r = √(d² − r²).r ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে d দূরত্বে অবস্থিত বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √(d² − r²)।
• If tangents PA and PB are drawn from P to a circle with centre O, then ∠APB + ∠AOB = 180°.O কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB স্পর্শক হলে ∠APB + ∠AOB = 180°।
• If two circles touch each other, the centres and the point of contact are collinear; distance between centres = r₁ + r₂ (touching externally) or r₁ − r₂ (touching internally, r₁ > r₂).দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে কেন্দ্র দুটি ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ; কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = r₁ + r₂ (বহিঃস্পর্শে) অথবা r₁ − r₂ (অন্তঃস্পর্শে, r₁ > r₂)।
• Common tangents: 4 (circles outside each other: 2 direct + 2 transverse), 3 (touching externally: 2 direct + 1 transverse), 2 (intersecting at two points: both direct), 1 (touching internally), 0 (one circle inside the other).সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা: ৪টি (বৃত্ত দুটি পরস্পরের বাইরে: ২টি সরল + ২টি তির্যক), ৩টি (বহিঃস্পর্শে: ২টি সরল + ১টি তির্যক), ২টি (দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে: দুটিই সরল), ১টি (অন্তঃস্পর্শে), ০টি (একটি বৃত্ত অপরটির ভিতরে)।

Exam tip: Theorem proofs (tangent ⊥ radius, equal tangents from an external point, collinearity of the centres and the point of contact) come only as long answers; the 1-mark MCQ, fill-in or true/false usually asks the number of tangents or common tangents, the tangent–radius angle (90°) or the distance between centres, and 2-mark short answers use √(d² − r²) or ∠APB + ∠AOB = 180°.উপপাদ্যের প্রমাণ (স্পর্শক ⊥ ব্যাসার্ধ, বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান, কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ) কেবল বড়ো প্রশ্নে আসে; ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যায় সাধারণত স্পর্শক বা সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা, স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের অন্তর্ভুক্ত কোণ (90°) বা কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব জিজ্ঞাসা করা হয়, আর ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্নে √(d² − r²) বা ∠APB + ∠AOB = 180° প্রয়োগ করতে হয়।

Theorems related to Tangent to a Circle (বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   A straight line that meets a circle at only one point is called a ____ of the circle.

   যে সরলরেখা বৃত্তকে কেবল একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাকে বৃত্তের ____ বলে।
   • Asecantছেদক
   • Bchordজ্যা
   • Ctangentস্পর্শক
   • Ddiameterব্যাস
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) tangent

   A tangent meets the circle at exactly one point, called the point of contact. A secant cuts the circle at two points, and a chord or a diameter is a line segment joining two points of the circle.

   স্পর্শক বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, যাকে স্পর্শবিন্দু বলে। ছেদক বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, আর জ্যা বা ব্যাস হল বৃত্তের দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।
2. Q2easy

   How many tangents can be drawn to a circle from a point outside it?

   বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
   • A1১টি
   • B2২টি
   • C0০টি
   • DInfinitely manyঅসংখ্য
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 2

   Exactly two tangents can be drawn from an external point. From a point on the circle only one can be drawn, and from a point inside the circle none.

   বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঠিক দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। বৃত্তের উপরের বিন্দু থেকে কেবল একটি এবং বৃত্তের ভিতরের বিন্দু থেকে একটিও স্পর্শক অঙ্কন করা যায় না।
3. Q3easy

   Which of the following statements is correct?

   নীচের কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AThe tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
   • BA secant meets a circle at exactly one point.ছেদক বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
   • CTwo tangents can be drawn to a circle from a point inside it.বৃত্তের ভিতরের কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
   • DThe tangent at a point of a circle passes through the centre.বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কেন্দ্র দিয়ে যায়।
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.

   The tangent is perpendicular to the radius at the point of contact. A secant cuts the circle at two points, no tangent can be drawn from an inside point, and it is the radius (not the tangent) that passes through the centre.

   স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব। ছেদক বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, ভিতরের বিন্দু থেকে কোনো স্পর্শক অঙ্কন করা যায় না, এবং কেন্দ্র দিয়ে যায় ব্যাসার্ধ, স্পর্শক নয়।
4. Q4easy

   When two circles touch each other, their two centres and the point of contact are ____.

   দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্র দুটি এবং স্পর্শবিন্দু ____।
   • Athe vertices of an equilateral triangleএকটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
   • Bthe vertices of a right-angled triangleএকটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
   • Cthe vertices of an obtuse-angled triangleএকটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
   • Dcollinearসমরেখ
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) collinear

   At the point of contact both radii are perpendicular to the same common tangent, so they lie on one straight line: the two centres and the point of contact are collinear and form no triangle.

   স্পর্শবিন্দুতে উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ একই সাধারণ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই তারা একই সরলরেখায় থাকে: কেন্দ্র দুটি ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ, কোনো ত্রিভুজ তৈরি হয় না।
5. Q5medium

   The radius of a circle with centre O is 5 cm. A point P is 13 cm from O, and PT is a tangent from P touching the circle at T. What is the length of PT?

   O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ cm। P বিন্দু O থেকে ১৩ cm দূরে অবস্থিত এবং P থেকে অঙ্কিত স্পর্শক PT বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে। PT-এর দৈর্ঘ্য কত?
   • A8 cm৮ cm
   • B12 cm১২ cm
   • C18 cm১৮ cm
   • D√194 cm√194 cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 12 cm

   OT ⊥ PT, so triangle OTP is right-angled at T: PT = √(OP² − OT²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. √194 comes from wrongly adding the squares.

   OT ⊥ PT, তাই OTP ত্রিভুজের T কোণটি সমকোণ: PT = √(OP² − OT²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm। বর্গ দুটি যোগ করলে ভুল উত্তর √194 আসে।
6. Q6medium

   PA and PB are tangents from an external point P to a circle with centre O, touching it at A and B. If ∠APB = 70°, then ∠AOB = ____.

   O কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত PA ও PB স্পর্শক দুটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠APB = 70° হলে ∠AOB = ____।
   • A70°70°
   • B140°140°
   • C110°110°
   • D35°35°
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 110°

   ∠OAP = ∠OBP = 90°, so in quadrilateral OAPB, ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°. ∠APB and ∠AOB are supplementary, not equal.

   ∠OAP = ∠OBP = 90°, তাই OAPB চতুর্ভুজে ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°। ∠APB ও ∠AOB পরস্পর সম্পূরক, সমান নয়।
7. Q7medium

   Two circles of radii 8 cm and 3 cm touch each other internally. What is the distance between their centres?

   ৮ cm ও ৩ cm ব্যাসার্ধের দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?
   • A11 cm১১ cm
   • B24 cm২৪ cm
   • C4 cm৪ cm
   • D5 cm৫ cm
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) 5 cm

   The centres and the point of contact are collinear, and for internal touching both centres lie on the same side of the point of contact, so the distance = 8 − 3 = 5 cm. 11 cm (8 + 3) is for circles touching externally.

   কেন্দ্র দুটি ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ এবং অন্তঃস্পর্শে কেন্দ্র দুটি স্পর্শবিন্দুর একই দিকে থাকে, তাই দূরত্ব = 8 − 3 = 5 cm। ১১ cm (8 + 3) হয় বহিঃস্পর্শের ক্ষেত্রে।
8. Q8medium

   Match the position of two circles (Column A) with the number of their common tangents (Column B). Column A: (a) touch externally, (b) intersect at two points, (c) touch internally, (d) lie outside each other without touching. Column B: (i) 1, (ii) 2, (iii) 3, (iv) 4.

   দুটি বৃত্তের অবস্থান (স্তম্ভ A)-এর সঙ্গে তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা (স্তম্ভ B) মেলাও। স্তম্ভ A: (a) বহিঃস্পর্শ করে, (b) দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, (c) অন্তঃস্পর্শ করে, (d) স্পর্শ না করে পরস্পরের বাইরে অবস্থিত। স্তম্ভ B: (i) ১, (ii) ২, (iii) ৩, (iv) ৪।
   • A(a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(i), (d)-(iv)(a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(i), (d)-(iv)
   • B(a)-(iv), (b)-(ii), (c)-(i), (d)-(iii)(a)-(iv), (b)-(ii), (c)-(i), (d)-(iii)
   • C(a)-(iii), (b)-(i), (c)-(ii), (d)-(iv)(a)-(iii), (b)-(i), (c)-(ii), (d)-(iv)
   • D(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i), (d)-(iv)(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i), (d)-(iv)
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) (a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(i), (d)-(iv)

   Touching externally: 3 (2 direct + 1 transverse at the point of contact); intersecting: 2 (both direct); touching internally: 1 (at the point of contact); lying apart: 4 (2 direct + 2 transverse).

   বহিঃস্পর্শে ৩টি (২টি সরল + স্পর্শবিন্দুতে ১টি তির্যক); দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে ২টি (দুটিই সরল); অন্তঃস্পর্শে ১টি (স্পর্শবিন্দুতে); পরস্পরের বাইরে থাকলে ৪টি (২টি সরল + ২টি তির্যক)।
9. Q9medium

   Two circles touch each other externally. How many transverse common tangents can be drawn to them?

   দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কয়টি তির্যক সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
   • A1১টি
   • B2২টি
   • C3৩টি
   • D0০টি
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 1

   Of the 3 common tangents of two externally touching circles, 2 are direct and only 1 — the tangent at the point of contact, which passes between the circles — is transverse.

   বহিঃস্পর্শী দুটি বৃত্তের ৩টি সাধারণ স্পর্শকের মধ্যে ২টি সরল এবং কেবল ১টি — স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক, যা বৃত্ত দুটির মাঝখান দিয়ে যায় — তির্যক।
10. Q10medium

    From an external point P, tangents PA and PB are drawn to a circle with centre O. If ∠AOP = 55°, what is ∠APB?

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা হল। ∠AOP = 55° হলে ∠APB-এর মান কত?
    • A55°55°
    • B70°70°
    • C35°35°
    • D110°110°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 70°

    In right triangle OAP (∠OAP = 90°), ∠APO = 90° − 55° = 35°. OP bisects ∠APB, so ∠APB = 2 × 35° = 70°. 35° is only half of the angle.

    OAP সমকোণী ত্রিভুজে (∠OAP = 90°) ∠APO = 90° − 55° = 35°। OP, ∠APB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই ∠APB = 2 × 35° = 70°। 35° কেবল কোণটির অর্ধেক।
11. Q11hard

    All four sides of a quadrilateral ABCD touch a circle. If AB = 6 cm, BC = 7 cm and CD = 8 cm, what is the length of AD?

    ABCD চতুর্ভুজের চারটি বাহুই একটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। AB = 6 cm, BC = 7 cm এবং CD = 8 cm হলে AD-এর দৈর্ঘ্য কত?
    • A9 cm৯ cm
    • B5 cm৫ cm
    • C7 cm৭ cm
    • D8 cm৮ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 7 cm

    The two tangents from each vertex to the circle are equal, which gives AB + CD = BC + AD. So 6 + 8 = 7 + AD, and AD = 7 cm.

    প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান, তাই AB + CD = BC + AD। অতএব 6 + 8 = 7 + AD, অর্থাৎ AD = 7 cm।
12. Q12hard

    Three circles with centres A, B and C touch each other externally in pairs. If AB = 5 cm, BC = 7 cm and CA = 6 cm, what is the radius of the circle with centre A?

    A, B ও C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। AB = 5 cm, BC = 7 cm এবং CA = 6 cm হলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
    • A3 cm৩ cm
    • B4 cm৪ cm
    • C2.5 cm২.৫ cm
    • D2 cm২ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 2 cm

    For circles touching externally, distance between centres = sum of the radii: a + b = 5, b + c = 7, c + a = 6. Adding, a + b + c = 9, so a = 9 − 7 = 2 cm (and b = 3 cm, c = 4 cm).

    বহিঃস্পর্শী বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল: a + b = 5, b + c = 7, c + a = 6। যোগ করে a + b + c = 9, তাই a = 9 − 7 = 2 cm (এবং b = 3 cm, c = 4 cm)।

Want the full set? Practise all 12 Theorems related to Tangent to a Circle (বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য) questions →