Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী)

This chapter has

Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) — quick revision notes

A quadratic surd is √a where a is a positive rational number that is not the square of a rational number, so every quadratic surd is irrational. Surds are classified as pure or mixed and as like or unlike; expressions with surds are simplified by combining like surds and by rationalising the denominator with a rationalising factor (usually the conjugate surd).

• An irrational number cannot be written as p/q (p, q integers, q ≠ 0); its decimal form is non-terminating and non-recurring, e.g. √2, √3, π.যে সংখ্যাকে p/q (p, q পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় না, তা অমূলদ সংখ্যা; এর দশমিক রূপ অসীম ও অপৌনঃপুনিক, যেমন √2, √3, π।
• √a is a quadratic surd only when a is a positive rational number that is not a perfect square of a rational: √7 is a surd, but √9 = 3 and √(4/9) = 2/3 are not; ∛5 is a cubic surd, not a quadratic one.a ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা এবং কোনো মূলদ সংখ্যার পূর্ণবর্গ না হলে তবেই √a দ্বিঘাত করণী: √7 করণী, কিন্তু √9 = 3 এবং √(4/9) = 2/3 করণী নয়; ∛5 ত্রিঘাত করণী, দ্বিঘাত নয়।
• Pure surd: rational coefficient 1 (√5, √11). Mixed surd: rational coefficient other than 1 (2√3, 5√2). √12 can be written as the mixed surd 2√3.বিশুদ্ধ করণী: মূলদ সহগ ১ (√5, √11)। মিশ্র করণী: মূলদ সহগ ১ ছাড়া অন্য কোনো মূলদ সংখ্যা (2√3, 5√2)। √12-কে মিশ্র করণী 2√3 আকারে লেখা যায়।
• Like surds have the same irrational part after simplification (√12 = 2√3 and √75 = 5√3 are like); only like surds can be added or subtracted: 5√2 − 3√2 = 2√2.সরল করার পর যে করণীগুলির অমূলদ অংশ একই, সেগুলি সদৃশ করণী (√12 = 2√3 ও √75 = 5√3 সদৃশ); কেবল সদৃশ করণীরই যোগ-বিয়োগ করা যায়: 5√2 − 3√2 = 2√2।
• For positive a, b: √a × √b = √(ab) and √a ÷ √b = √(a/b); e.g. √72 ÷ √8 = √9 = 3.ধনাত্মক a, b-এর জন্য √a × √b = √(ab) এবং √a ÷ √b = √(a/b); যেমন √72 ÷ √8 = √9 = 3।
• Rationalising factor: a factor whose product with the surd is rational. √a is a rationalising factor of √a; the conjugate (a − √b) is a rationalising factor of (a + √b).করণী নিরসক উৎপাদক: যে উৎপাদক দিয়ে গুণ করলে গুণফল মূলদ সংখ্যা হয়। √a-এর করণী নিরসক উৎপাদক √a; (a + √b)-এর করণী নিরসক উৎপাদক তার অনুবন্ধী করণী (a − √b)।
• (√a + √b)(√a − √b) = a − b; this rationalises denominators: 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/2.(√a + √b)(√a − √b) = a − b; এর সাহায্যে হরের করণী নিরসন করা হয়: 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/2।
• If x = 2 + √3 then 1/x = 2 − √3, so x + 1/x = 4 and x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 14.x = 2 + √3 হলে 1/x = 2 − √3, তাই x + 1/x = 4 এবং x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 14।

Exam tip: Quadratic surd belongs to the Algebra part: expect a 1-mark MCQ, fill-in or true/false (type of surd, rationalising factor, a quick product or quotient) and 2-mark short answers on simplifying or rationalising. Long answers often give x = a + √b and ask for x + 1/x, x² + 1/x² or a similar value — rationalise 1/x first.দ্বিঘাত করণী বীজগণিত অংশের অধ্যায়: ১ নম্বরের বহু বিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন (MCQ), শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যা (করণীর প্রকার, করণী নিরসক উৎপাদক, ছোটো গুণ বা ভাগ) এবং সরলীকরণ বা হরের করণী নিরসনের উপর ২ নম্বরের সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন আসে। দীর্ঘ প্রশ্নে প্রায়ই x = a + √b দিয়ে x + 1/x বা x² + 1/x²-এর মান চাওয়া হয় — আগে 1/x-এর হরের করণী নিরসন করে নাও।

Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   Which of the following is a quadratic surd?

   নীচের কোনটি দ্বিঘাত করণী?
   • A√9√9
   • B∛5∛5
   • C√7√7
   • D√(4/9)√(4/9)
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) √7

   7 is a positive rational number that is not a perfect square, so √7 is a quadratic surd. √9 = 3 and √(4/9) = 2/3 are rational, and ∛5 is a cube root (a cubic surd), not a quadratic surd.

   ৭ একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়, তাই √7 দ্বিঘাত করণী। √9 = 3 ও √(4/9) = 2/3 মূলদ সংখ্যা, আর ∛5 ঘনমূল (ত্রিঘাত করণী), দ্বিঘাত করণী নয়।
2. Q2easy

   Which statement about pure and mixed surds is correct?

   বিশুদ্ধ ও মিশ্র করণী সম্পর্কে কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • A√5 is a mixed surd.√5 একটি মিশ্র করণী।
   • B2√3 is a mixed surd.2√3 একটি মিশ্র করণী।
   • C3√2 is a pure surd.3√2 একটি বিশুদ্ধ করণী।
   • D√16 is a pure surd.√16 একটি বিশুদ্ধ করণী।
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 2√3 is a mixed surd.

   A surd whose rational coefficient is not 1 is a mixed surd, so 2√3 is mixed. √5 has coefficient 1, so it is pure; 3√2 is mixed; and √16 = 4 is rational, so it is not a surd at all.

   মূলদ সহগ ১ না হলে করণীটি মিশ্র করণী, তাই 2√3 মিশ্র করণী। √5-এর সহগ ১, তাই এটি বিশুদ্ধ করণী; 3√2 মিশ্র করণী; আর √16 = 4 মূলদ সংখ্যা, তাই এটি করণীই নয়।
3. Q3easy

   Which of the following is a like surd of √3?

   নীচের কোনটি √3-এর সদৃশ করণী?
   • A√18√18
   • B√8√8
   • C√30√30
   • D√12√12
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) √12

   √12 = √(4 × 3) = 2√3, which has the same irrational part √3. √18 = 3√2 and √8 = 2√2 are like surds of √2, and √30 cannot be simplified.

   √12 = √(4 × 3) = 2√3, এর অমূলদ অংশ √3, তাই এটি √3-এর সদৃশ করণী। √18 = 3√2 ও √8 = 2√2 হল √2-এর সদৃশ করণী, আর √30-কে সরল করা যায় না।
4. Q4easy

   Fill in the blank: √72 ÷ √8 = ____

   শূন্যস্থান পূরণ করো: √72 ÷ √8 = ____
   • A3৩
   • B9৯
   • C3√23√2
   • D2√32√3
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) 3

   √72 ÷ √8 = √(72/8) = √9 = 3. Alternatively, 6√2 ÷ 2√2 = 3. Answering 9 forgets to take the square root.

   √72 ÷ √8 = √(72/8) = √9 = 3। অন্যভাবে, 6√2 ÷ 2√2 = 3। উত্তর ৯ লিখলে বর্গমূল নিতে ভুলে যাওয়া হয়।
5. Q5medium

   Which of the following is a rationalising factor of (3 + √2)?

   নীচের কোনটি (3 + √2)-এর একটি করণী নিরসক উৎপাদক?
   • A3 + √23 + √2
   • B√3 + 2√3 + 2
   • C3 − √23 − √2
   • D2 − √32 − √3
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) 3 − √2

   (3 + √2)(3 − √2) = 3² − (√2)² = 9 − 2 = 7, a rational number, so the conjugate 3 − √2 is a rationalising factor. Multiplying by 3 + √2 gives 11 + 6√2, which is still irrational.

   (3 + √2)(3 − √2) = 3² − (√2)² = 9 − 2 = 7, যা মূলদ সংখ্যা; তাই অনুবন্ধী করণী 3 − √2 একটি করণী নিরসক উৎপাদক। 3 + √2 দিয়ে গুণ করলে 11 + 6√2 পাওয়া যায়, যা এখনও অমূলদ।
6. Q6medium

   The simplified value of √50 − √18 + √8 is

   √50 − √18 + √8-এর সরলতম মান
   • A2√22√2
   • B4√24√2
   • C6√26√2
   • D√40√40
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 4√2

   √50 = 5√2, √18 = 3√2 and √8 = 2√2, so the value is (5 − 3 + 2)√2 = 4√2. √40 comes from wrongly adding and subtracting the numbers under the root sign.

   √50 = 5√2, √18 = 3√2 এবং √8 = 2√2; সুতরাং মান = (5 − 3 + 2)√2 = 4√2। বর্গমূল চিহ্নের ভিতরের সংখ্যাগুলি সরাসরি যোগ-বিয়োগ করলে ভুল উত্তর √40 আসে।
7. Q7medium

   Rationalising the denominator, 1/(√5 − √3) =

   হরের করণী নিরসন করলে 1/(√5 − √3) =
   • A(√5 − √3)/2(√5 − √3)/2
   • B√5 + √3√5 + √3
   • C(√5 + √3)/8(√5 + √3)/8
   • D(√5 + √3)/2(√5 + √3)/2
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) (√5 + √3)/2

   Multiply the numerator and denominator by √5 + √3: denominator = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2, so the value is (√5 + √3)/2. A denominator of 8 comes from adding 5 and 3 instead of subtracting.

   লব ও হরকে √5 + √3 দিয়ে গুণ করি: হর = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2, তাই মান (√5 + √3)/2। ৫ ও ৩ বিয়োগ না করে যোগ করলে হর ভুল করে ৮ হয়ে যায়।
8. Q8hard

   Comparing √5 + √3 with √6 + √2, which statement is correct?

   √5 + √3 ও √6 + √2-এর তুলনা করলে কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • A√5 + √3 < √6 + √2√5 + √3 < √6 + √2
   • B√5 + √3 > √6 + √2√5 + √3 > √6 + √2
   • C√5 + √3 = √6 + √2√5 + √3 = √6 + √2
   • D(√5 + √3)² = 8(√5 + √3)² = 8
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) √5 + √3 > √6 + √2

   Both sides are positive, so compare their squares: (√5 + √3)² = 8 + 2√15 and (√6 + √2)² = 8 + 2√12. Since √15 > √12, √5 + √3 > √6 + √2. Note that (√5 + √3)² is 8 + 2√15, not 8.

   দুটি রাশিই ধনাত্মক, তাই তাদের বর্গ তুলনা করি: (√5 + √3)² = 8 + 2√15 এবং (√6 + √2)² = 8 + 2√12। যেহেতু √15 > √12, তাই √5 + √3 > √6 + √2। লক্ষ করো, (√5 + √3)²-এর মান 8 + 2√15, শুধু ৮ নয়।
9. Q9medium

   Match Column A with Column B. Column A: (a) √11, (b) 4√5, (c) 2√5 and √45, (d) √2 and √3. Column B: (i) like surds, (ii) pure surd, (iii) unlike surds, (iv) mixed surd.

   বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) √11, (b) 4√5, (c) 2√5 ও √45, (d) √2 ও √3। ডানস্তম্ভ: (i) সদৃশ করণী, (ii) বিশুদ্ধ করণী, (iii) অসদৃশ করণী, (iv) মিশ্র করণী।
   • Aa-ii, b-iv, c-i, d-iiia-ii, b-iv, c-i, d-iii
   • Ba-iv, b-ii, c-i, d-iiia-iv, b-ii, c-i, d-iii
   • Ca-ii, b-iv, c-iii, d-ia-ii, b-iv, c-iii, d-i
   • Da-iv, b-ii, c-iii, d-ia-iv, b-ii, c-iii, d-i
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) a-ii, b-iv, c-i, d-iii

   √11 has coefficient 1 (pure), 4√5 has coefficient 4 (mixed), √45 = 3√5 so 2√5 and √45 are like surds, while √2 and √3 have different irrational parts (unlike): a-ii, b-iv, c-i, d-iii.

   √11-এর সহগ ১ (বিশুদ্ধ), 4√5-এর সহগ ৪ (মিশ্র), √45 = 3√5 তাই 2√5 ও √45 সদৃশ করণী, আর √2 ও √3-এর অমূলদ অংশ আলাদা (অসদৃশ): a-ii, b-iv, c-i, d-iii।
10. Q10medium

    Which statement about irrational numbers and surds is correct?

    অমূলদ সংখ্যা ও করণী সম্পর্কে কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • A√25 is a quadratic surd.√25 একটি দ্বিঘাত করণী।
    • BThe product of two quadratic surds is always irrational.দুটি দ্বিঘাত করণীর গুণফল সর্বদা অমূলদ।
    • CThe sum of a rational number and an irrational number is always irrational.একটি মূলদ সংখ্যা ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ।
    • Dπ is a quadratic surd.π একটি দ্বিঘাত করণী।
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) The sum of a rational number and an irrational number is always irrational.

    If rational + irrational were rational, the irrational number would equal rational − rational, which is rational — impossible. √25 = 5 is rational, √2 × √8 = 4 shows that a product of surds can be rational, and π is irrational but is not the square root of any rational number.

    মূলদ + অমূলদ যদি মূলদ হত, তবে অমূলদ সংখ্যাটি = মূলদ − মূলদ = মূলদ হত, যা অসম্ভব। √25 = 5 মূলদ; √2 × √8 = 4 দেখায় যে দুটি করণীর গুণফল মূলদ হতে পারে; আর π অমূলদ হলেও কোনো মূলদ সংখ্যার বর্গমূল নয়।
11. Q11medium

    The area of a square garden is 50 m². The length of its diagonal is

    একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার। বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
    • A5√2 m5√2 মিটার
    • B10√2 m10√2 মিটার
    • C25 m২৫ মিটার
    • D10 m১০ মিটার
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 10 m

    Side = √50 = 5√2 m, and diagonal = side × √2 = 5√2 × √2 = 10 m. 5√2 m is only the side.

    বাহুর দৈর্ঘ্য = √50 = 5√2 মিটার, এবং কর্ণ = বাহু × √2 = 5√2 × √2 = 10 মিটার। 5√2 মিটার কেবল বাহুর দৈর্ঘ্য।
12. Q12hard

    If x = 2 + √3, then the value of x² + 1/x² is

    x = 2 + √3 হলে x² + 1/x²-এর মান
    • A14১৪
    • B16১৬
    • C4√34√3
    • D12১২
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 14

    1/x = 1/(2 + √3) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3, so x + 1/x = 4. Then x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 16 − 2 = 14; 16 forgets to subtract 2.

    1/x = 1/(2 + √3) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3, তাই x + 1/x = 4। তাহলে x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 16 − 2 = 14; ২ বিয়োগ করতে ভুলে গেলে ১৬ উত্তর আসে।

Want the full set? Practise all 12 Quadratic Surd (দ্বিঘাত করণী) questions →