Fill in the blank: To construct the mean proportional of segments a and b, the segments AB = a and BC = b are drawn ____ and a semicircle is drawn on AC as diameter.

on the same straight line, one after the other

as two sides of an equilateral triangle

In the construction of the mean proportional, the perpendicular to AC at B meets the semicircle drawn on AC at D. Which fact is mainly used to prove that BD² = AB·BC?

The angle in a semicircle is a right angle, so ∠ADC = 90°

The angle at the centre is twice the angle at the circumference

Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary

A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact

Which statement is correct?

The side of a square equal in area to a rectangle is the mean proportional of the length and breadth of the rectangle.

The mean proportional of two line segments is always half of their sum.

The side of a square equal in area to a triangle is the mean proportional of the base and the height of the triangle.

The mean proportional of two line segments can be constructed only when the two segments are equal.

To construct a square equal in area to a given triangle, the first step is to

construct a rectangle equal in area to the triangle

draw the circumcircle of the triangle

bisect all the angles of the triangle

draw an equilateral triangle on its base

Madhyamik 2027 (WBBSE) · Mathematics (গণিত)

Construction: Determination of Mean Proportional (সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়)

12 practice questions with full step-by-step solutions, quick revision notes — free, no sign-up.

Content reviewed by Kaustav Basak, Founder · Report a mistake

Practise · 12 questions

This chapter has

easy

medium

hard

Construction: Determination of Mean Proportional (সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়) — quick revision notes

If a : x = x : b, then x is called the mean proportional of a and b, so x² = ab and x = √(ab). This chapter constructs the mean proportional of two given line segments with the help of a semicircle, and uses the same construction to draw a square equal in area to a given rectangle or a given triangle.

a : x = x : b হলে x-কে a ও b-এর মধ্যসমানুপাতী বলে, অর্থাৎ x² = ab এবং x = √(ab)। এই অধ্যায়ে অর্ধবৃত্তের সাহায্যে দুটি প্রদত্ত সরলরেখাংশের মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করা হয় এবং একই পদ্ধতিতে প্রদত্ত আয়তক্ষেত্র বা ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হয়।

Mean proportional x of a and b: a : x = x : b, so x² = ab, i.e. x = √(ab).a ও b-এর মধ্যসমানুপাতী x হলে a : x = x : b, অর্থাৎ x² = ab বা x = √(ab)।
Construction: draw AB = a and extend it to C so that BC = b (A, B, C on one straight line, AC = a + b).অঙ্কন: AB = a সরলরেখাংশ টেনে তাকে C পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করো যাতে BC = b হয় (A, B, C একই সরলরেখায়, AC = a + b)।
Bisect AC at O and draw a semicircle with AC as diameter; the perpendicular to AC at B meets the semicircle at D. Then BD = √(ab).AC-কে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে AC-কে ব্যাস ধরে একটি অর্ধবৃত্ত আঁকো; B বিন্দুতে AC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করলে BD = √(ab)।
Reason: ∠ADC = 90° (angle in a semicircle); since DB ⊥ AC, ΔABD and ΔDBC are similar, so BD² = AB·BC.যুক্তি: ∠ADC = 90° (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ); DB ⊥ AC হওয়ায় ΔABD ও ΔDBC সদৃশ, তাই BD² = AB·BC।
Square equal in area to a rectangle with sides l and b: its side is the mean proportional of l and b, i.e. √(lb).l ও b বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহু l ও b-এর মধ্যসমানুপাতী, অর্থাৎ √(lb)।
Square equal in area to a triangle: first draw a rectangle equal in area to the triangle (e.g. length b, breadth h/2), then find the mean proportional of its adjacent sides; side = √(½bh).ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র: প্রথমে ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র আঁকো (যেমন দৈর্ঘ্য b, প্রস্থ h/2), তারপর তার সন্নিহিত বাহু দুটির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করো; বাহু = √(½bh)।
The same construction gives √n geometrically, e.g. √15 is the mean proportional of 5 and 3 (or of 15 and 1).একই অঙ্কনের সাহায্যে √n জ্যামিতিকভাবে পাওয়া যায়, যেমন √15 হল ৫ ও ৩-এর (অথবা ১৫ ও ১-এর) মধ্যসমানুপাতী।
Check: for 4 cm and 9 cm, AC = 13 cm, the radius of the semicircle = 6.5 cm and BD = 6 cm.যাচাই: ৪ cm ও ৯ cm-এর ক্ষেত্রে AC = 13 cm, অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6.5 cm এবং BD = 6 cm।

Common mistakes to avoid

Taking the average (a + b)/2 as the mean proportional instead of √(ab).
For a triangle, using base × height instead of ½ × base × height, which makes the square's side √2 times too long.
Drawing the perpendicular at the midpoint O instead of at B, the point where the two segments meet.
Rubbing out the arcs and perpendicular marks; examiners look for visible construction marks.

Exam tip: Madhyamik asks this chapter only as a long-answer construction, usually as one of two choices: draw the mean proportional of two given segments, or a square equal in area to a given rectangle or triangle. Usually only the construction marks are required, so draw to exact measure with a sharp pencil and keep every arc visible; the idea x² = ab also helps in 1-mark questions on mean proportional.মাধ্যমিকে এই অধ্যায়টি কেবল দীর্ঘ উত্তরভিত্তিক সম্পাদ্য হিসেবে আসে, সাধারণত দুটি সম্পাদ্যের মধ্যে একটি করতে হয়: দুটি প্রদত্ত সরলরেখাংশের মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন, অথবা প্রদত্ত আয়তক্ষেত্র বা ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র অঙ্কন। সাধারণত কেবল অঙ্কনচিহ্ন চাওয়া হয়, তাই সূক্ষ্ম পেনসিলে নির্ভুল মাপে আঁকো এবং প্রতিটি বৃত্তচাপ রেখে দাও; x² = ab ধারণাটি মধ্যসমানুপাতী সংক্রান্ত ১ নম্বরের প্রশ্নেও কাজে লাগে।

Construction: Determination of Mean Proportional (সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

Q1easy
If x is the mean proportional of two line segments of lengths a and b, which relation is true?
a ও b দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশের মধ্যসমানুপাতী x হলে কোন সম্পর্কটি সত্য?
- Ax = (a + b)/2x = (a + b)/2
- Bx² = abx² = ab
- Cx = abx = ab
- Dx = a/bx = a/b
Show answer & solution
Correct answer: (B) x² = ab
Mean proportional means a : x = x : b, so x·x = a·b, i.e. x² = ab and x = √(ab). (a + b)/2 is the average, not the mean proportional.
মধ্যসমানুপাতী অর্থ a : x = x : b, তাই x·x = a·b, অর্থাৎ x² = ab এবং x = √(ab)। (a + b)/2 হল গড়, মধ্যসমানুপাতী নয়।
Q2easy
The mean proportional of two line segments of lengths 4 cm and 9 cm is ____.
৪ cm ও ৯ cm দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশের মধ্যসমানুপাতীর দৈর্ঘ্য ____।
- A6.5 cm৬.৫ cm
- B13 cm১৩ cm
- C6 cm৬ cm
- D36 cm৩৬ cm
Show answer & solution
Correct answer: (C) 6 cm
x² = 4 × 9 = 36, so x = 6 cm. 6.5 cm is the average of the two lengths and 36 is the value of x², not x.
x² = 4 × 9 = 36, তাই x = 6 cm। ৬.৫ cm হল দৈর্ঘ্য দুটির গড় এবং ৩৬ হল x²-এর মান, x-এর নয়।
Q3easy
Fill in the blank: To construct the mean proportional of segments a and b, the segments AB = a and BC = b are drawn ____ and a semicircle is drawn on AC as diameter.
শূন্যস্থান পূরণ করো: a ও b সরলরেখাংশের মধ্যসমানুপাতী অঙ্কনের জন্য AB = a ও BC = b সরলরেখাংশ দুটিকে ____ আঁকা হয় এবং AC-কে ব্যাস ধরে অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করা হয়।
- Aon the same straight line, one after the otherএকই সরলরেখায় পরপর
- Bperpendicular to each otherপরস্পর লম্বভাবে
- Cparallel to each otherপরস্পর সমান্তরালভাবে
- Das two sides of an equilateral triangleএকটি সমবাহু ত্রিভুজের দুটি বাহু হিসেবে
Show answer & solution
Correct answer: (A) on the same straight line, one after the other
A, B and C must lie on one straight line so that AC = a + b becomes the diameter; the perpendicular at the joining point B then cuts off the mean proportional on the semicircle.
A, B ও C একই সরলরেখায় থাকলে তবেই AC = a + b ব্যাস হয়; তখন সংযোগবিন্দু B-তে অঙ্কিত লম্ব অর্ধবৃত্ত পর্যন্ত মধ্যসমানুপাতীর সমান দৈর্ঘ্য ছিন্ন করে।
Q4easy
The side of a square equal in area to a rectangle 8 cm long and 2 cm broad is
৮ cm দৈর্ঘ্য ও ২ cm প্রস্থবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
- A5 cm৫ cm
- B16 cm১৬ cm
- C10 cm১০ cm
- D4 cm৪ cm
Show answer & solution
Correct answer: (D) 4 cm
Side = mean proportional of 8 and 2 = √(8 × 2) = √16 = 4 cm. 5 cm is the average and 16 is the area, not the side.
বাহু = ৮ ও ২-এর মধ্যসমানুপাতী = √(8 × 2) = √16 = 4 cm। ৫ cm হল গড় এবং ১৬ হল ক্ষেত্রফল, বাহু নয়।
Q5medium
In the construction of the mean proportional, the perpendicular to AC at B meets the semicircle drawn on AC at D. Which fact is mainly used to prove that BD² = AB·BC?
মধ্যসমানুপাতী অঙ্কনে B বিন্দুতে AC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব, AC-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করে। BD² = AB·BC প্রমাণ করতে প্রধানত কোন তথ্যটি ব্যবহৃত হয়?
- AThe angle at the centre is twice the angle at the circumferenceবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ
- BOpposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementaryবৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক
- CA tangent is perpendicular to the radius at the point of contactস্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব
- DThe angle in a semicircle is a right angle, so ∠ADC = 90°অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই ∠ADC = 90°
Show answer & solution
Correct answer: (D) The angle in a semicircle is a right angle, so ∠ADC = 90°
Joining AD and DC, ∠ADC = 90° as it is an angle in a semicircle. With DB ⊥ AC, ΔABD ~ ΔDBC, so AB/BD = BD/BC, giving BD² = AB·BC.
AD ও DC যোগ করলে অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে ∠ADC = 90°। DB ⊥ AC হওয়ায় ΔABD ও ΔDBC সদৃশ, তাই AB/BD = BD/BC, অর্থাৎ BD² = AB·BC।
Q6medium
The side of a square equal in area to a triangle with base 12 cm and height 6 cm is
১২ cm ভূমি ও ৬ cm উচ্চতাবিশিষ্ট ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
- A6 cm৬ cm
- B6√2 cm6√2 cm
- C9 cm৯ cm
- D18 cm১৮ cm
Show answer & solution
Correct answer: (A) 6 cm
Area of the triangle = ½ × 12 × 6 = 36 cm², so side = √36 = 6 cm. Forgetting the ½ gives √72 = 6√2 cm, which is wrong.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × 12 × 6 = 36 cm², তাই বাহু = √36 = 6 cm। ½ বাদ দিলে √72 = 6√2 cm আসে, যা ভুল।
Q7medium
Which statement is correct?
কোন বিবৃতিটি সঠিক?
- AThe mean proportional of two line segments is always half of their sum.দুটি সরলরেখাংশের মধ্যসমানুপাতী সর্বদা তাদের সমষ্টির অর্ধেক।
- BThe side of a square equal in area to a rectangle is the mean proportional of the length and breadth of the rectangle.আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহু আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যসমানুপাতী।
- CThe side of a square equal in area to a triangle is the mean proportional of the base and the height of the triangle.ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহু ত্রিভুজটির ভূমি ও উচ্চতার মধ্যসমানুপাতী।
- DThe mean proportional of two line segments can be constructed only when the two segments are equal.দুটি সরলরেখাংশ সমান হলে তবেই তাদের মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করা যায়।
Show answer & solution
Correct answer: (B) The side of a square equal in area to a rectangle is the mean proportional of the length and breadth of the rectangle.
If the side s satisfies s² = l × b, then s is the mean proportional of l and b. For a triangle the side is the mean proportional of the base and HALF the height (area = ½bh), and the two segments need not be equal.
s² = l × b হলে s হল l ও b-এর মধ্যসমানুপাতী। ত্রিভুজের ক্ষেত্রে বাহুটি ভূমি ও উচ্চতার অর্ধেকের মধ্যসমানুপাতী (ক্ষেত্রফল = ½bh), এবং সরলরেখাংশ দুটি সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই।
Q8medium
To construct a square equal in area to a given triangle, the first step is to
প্রদত্ত ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করতে প্রথম ধাপে
- Adraw the circumcircle of the triangleত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করতে হয়
- Bbisect all the angles of the triangleত্রিভুজটির কোণগুলিকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হয়
- Cconstruct a rectangle equal in area to the triangleত্রিভুজটির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করতে হয়
- Ddraw an equilateral triangle on its baseত্রিভুজটির ভূমির উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হয়
Show answer & solution
Correct answer: (C) construct a rectangle equal in area to the triangle
First a rectangle of the same area is drawn; then the mean proportional of its two adjacent sides is the side of the required square.
প্রথমে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র আঁকা হয়; তারপর তার সন্নিহিত বাহু দুটির মধ্যসমানুপাতীই নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রের বাহু।
Q9medium
To get a line segment of length √15 cm by the mean proportional construction, the segments AB and BC on one straight line can be taken as
মধ্যসমানুপাতী অঙ্কনের সাহায্যে √15 cm দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ পেতে হলে একই সরলরেখায় AB ও BC-এর দৈর্ঘ্য নেওয়া যায়
- AAB = 7.5 cm, BC = 7.5 cmAB = 7.5 cm, BC = 7.5 cm
- BAB = 12 cm, BC = 3 cmAB = 12 cm, BC = 3 cm
- CAB = 5 cm, BC = 3 cmAB = 5 cm, BC = 3 cm
- DAB = 15 cm, BC = 15 cmAB = 15 cm, BC = 15 cm
Show answer & solution
Correct answer: (C) AB = 5 cm, BC = 3 cm
BD = √(AB × BC) = √(5 × 3) = √15. The others give √(7.5 × 7.5) = 7.5, √(12 × 3) = 6 and √(15 × 15) = 15.
BD = √(AB × BC) = √(5 × 3) = √15। অন্যগুলি থেকে পাওয়া যায় √(7.5 × 7.5) = 7.5, √(12 × 3) = 6 এবং √(15 × 15) = 15।
Q10medium
AB = 9 cm and BC = 4 cm are drawn on one straight line and a semicircle is drawn on AC as diameter. The perpendicular to AC at B meets the semicircle at D. The radius of the semicircle and the length of BD are respectively
একই সরলরেখায় AB = 9 cm ও BC = 4 cm নিয়ে AC-কে ব্যাস ধরে একটি অর্ধবৃত্ত আঁকা হল। B বিন্দুতে AC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করে। অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ ও BD-এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে
- A6.5 cm and 6 cm৬.৫ cm ও ৬ cm
- B13 cm and 6 cm১৩ cm ও ৬ cm
- C6.5 cm and 6.5 cm৬.৫ cm ও ৬.৫ cm
- D6 cm and 6.5 cm৬ cm ও ৬.৫ cm
Show answer & solution
Correct answer: (A) 6.5 cm and 6 cm
AC = 9 + 4 = 13 cm, so the radius = 6.5 cm. BD = √(9 × 4) = 6 cm. (Check: OB = 6.5 − 4 = 2.5 cm and BD² = 6.5² − 2.5² = 36.)
AC = 9 + 4 = 13 cm, তাই ব্যাসার্ধ = 6.5 cm। BD = √(9 × 4) = 6 cm। (যাচাই: OB = 6.5 − 4 = 2.5 cm এবং BD² = 6.5² − 2.5² = 36।)
Q11hard
Match the columns. Left: (a) mean proportional of 2 cm and 8 cm, (b) side of the square equal in area to a 9 cm × 4 cm rectangle, (c) side of the square equal in area to a triangle with base 10 cm and height 5 cm. Right: (i) 4 cm, (ii) 5 cm, (iii) 6 cm.
বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) ২ cm ও ৮ cm-এর মধ্যসমানুপাতী, (b) 9 cm × 4 cm আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহু, (c) ১০ cm ভূমি ও ৫ cm উচ্চতাবিশিষ্ট ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহু। ডানস্তম্ভ: (i) ৪ cm, (ii) ৫ cm, (iii) ৬ cm।
- Aa-i, b-ii, c-iiia-i, b-ii, c-iii
- Ba-iii, b-i, c-iia-iii, b-i, c-ii
- Ca-ii, b-iii, c-ia-ii, b-iii, c-i
- Da-i, b-iii, c-iia-i, b-iii, c-ii
Show answer & solution
Correct answer: (D) a-i, b-iii, c-ii
(a) √(2 × 8) = 4 cm; (b) √(9 × 4) = 6 cm; (c) area = ½ × 10 × 5 = 25 cm², so side = 5 cm. Hence a-i, b-iii, c-ii.
(a) √(2 × 8) = 4 cm; (b) √(9 × 4) = 6 cm; (c) ক্ষেত্রফল = ½ × 10 × 5 = 25 cm², তাই বাহু = 5 cm। সুতরাং a-i, b-iii, c-ii।
Q12hard
To construct a square equal in area to a triangle with base 10 cm and height 8 cm, a rectangle of length 10 cm with the same area is drawn first. The breadth of this rectangle and the side of the required square are
১০ cm ভূমি ও ৮ cm উচ্চতাবিশিষ্ট ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র অঙ্কনের জন্য প্রথমে ১০ cm দৈর্ঘ্যের একটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র আঁকা হল। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ এবং নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
- Abreadth 8 cm, side 4√5 cmপ্রস্থ ৮ cm, বাহু 4√5 cm
- Bbreadth 4 cm, side 2√10 cmপ্রস্থ ৪ cm, বাহু 2√10 cm
- Cbreadth 4 cm, side 7 cmপ্রস্থ ৪ cm, বাহু ৭ cm
- Dbreadth 5 cm, side 5√2 cmপ্রস্থ ৫ cm, বাহু 5√2 cm
Show answer & solution
Correct answer: (B) breadth 4 cm, side 2√10 cm
Triangle area = ½ × 10 × 8 = 40 cm², so breadth = 40 ÷ 10 = 4 cm (half the height). Side = √(10 × 4) = √40 = 2√10 cm; 7 cm is the average of 10 and 4, not their mean proportional.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × 10 × 8 = 40 cm², তাই প্রস্থ = 40 ÷ 10 = 4 cm (উচ্চতার অর্ধেক)। বাহু = √(10 × 4) = √40 = 2√10 cm; ৭ cm হল ১০ ও ৪-এর গড়, মধ্যসমানুপাতী নয়।

Want the full set? Practise all 12 Construction: Determination of Mean Proportional (সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়) questions →

← All Mathematics (গণিত) chapters