Madhyamik 2027 (WBBSE) · Mathematics (গণিত)

Theorems related to Cyclic Quadrilateral (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য)

12 practice questions with full step-by-step solutions, quick revision notes — free, no sign-up.

Content reviewed by Kaustav Basak, Founder · Report a mistake

Practise · 12 questions

This chapter has

4
easy
6
medium
2
hard

Theorems related to Cyclic Quadrilateral (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য) — quick revision notes

A quadrilateral whose four vertices lie on one circle is a cyclic quadrilateral. Its opposite angles are supplementary (proved using the angle at the centre), and conversely, if a pair of opposite angles of a quadrilateral is supplementary, its four vertices are concyclic. These two results, together with angles in the same segment and the angle in a semicircle, solve most angle problems in this chapter.

যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দুই একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলে। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (কেন্দ্রস্থ কোণের সাহায্যে প্রমাণ করা হয়); বিপরীতক্রমে, কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে তার শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এই দুটি ফল এবং একই বৃত্তাংশস্থ কোণ ও অর্ধবৃত্তস্থ কোণের ধর্ম মিলিয়ে এই অধ্যায়ের বেশিরভাগ কোণের অঙ্কের সমাধান করা যায়।
  • Cyclic quadrilateral: all four vertices lie on the same circle (the vertices are concyclic).বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ: চারটি শীর্ষবিন্দুই একই বৃত্তের উপর থাকে (শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ)।
  • Theorem: the opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary — ∠A + ∠C = 180° and ∠B + ∠D = 180°.উপপাদ্য: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক — ∠A + ∠C = 180° এবং ∠B + ∠D = 180°।
  • Proof idea: join the centre O to B and D. ∠BAD is half of the central angle BOD standing on arc BCD, and ∠BCD is half of the reflex angle BOD standing on arc BAD; the two central angles add up to 360°.প্রমাণের মূল ধারণা: কেন্দ্র O-কে B ও D-এর সঙ্গে যুক্ত করি। ∠BAD হল BCD চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ BOD-এর অর্ধেক, এবং ∠BCD হল BAD চাপের উপর দণ্ডায়মান প্রবৃদ্ধ কোণ BOD-এর অর্ধেক; এই দুটি কেন্দ্রস্থ কোণের সমষ্টি 360°।
  • Converse (no proof needed): if one pair of opposite angles of a quadrilateral is supplementary, its four vertices are concyclic.বিপরীত উপপাদ্য (প্রমাণ লাগবে না): কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে তার শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
  • If a side of a cyclic quadrilateral is produced, the exterior angle formed equals the interior opposite angle.বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
  • A cyclic parallelogram is a rectangle, a cyclic rhombus is a square, and a cyclic trapezium is isosceles.বৃত্তস্থ সামান্তরিক আয়তক্ষেত্র, বৃত্তস্থ রম্বস বর্গক্ষেত্র এবং বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সমদ্বিবাহু।
  • Combine with earlier results: angles in the same segment are equal, and the angle in a semicircle is 90°.আগের ফলগুলির সঙ্গে মেলাও: একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলি সমান এবং অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ (90°)।

Common mistakes to avoid

  • Taking opposite angles as equal instead of supplementary (they are equal only when both are 90°).
  • Adding adjacent angles such as ∠A + ∠B to 180° — that is true for co-interior angles between parallel sides, not for every cyclic quadrilateral.
  • Equating an exterior angle with the adjacent interior angle instead of the interior opposite angle.

Exam tip: The theorem 'opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary' is a regular Geometry long-answer proof, so learn the figure and every step. 1-mark MCQ, fill-in or true/false items ask for an opposite or exterior angle, and riders (short or long answers) ask you to prove that a parallelogram, rhombus or trapezium inscribed in a circle is a rectangle, square or isosceles trapezium.'বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক' — এই উপপাদ্যের প্রমাণ জ্যামিতির দীর্ঘ উত্তরের প্রশ্নে নিয়মিত আসে, তাই চিত্র ও প্রতিটি ধাপ ভালো করে শেখো। ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যায় বিপরীত কোণ বা বহিঃস্থ কোণের মান চাওয়া হয়, আর প্রয়োগমূলক প্রশ্নে (সংক্ষিপ্ত বা দীর্ঘ) বৃত্তস্থ সামান্তরিক, রম্বস বা ট্রাপিজিয়াম যথাক্রমে আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র বা সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম — তা প্রমাণ করতে বলা হয়।

Theorems related to Cyclic Quadrilateral (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

  1. Q1easy

    ABCD is a cyclic quadrilateral. If ∠A = 70°, then ∠C =

    ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠A = 70° হলে ∠C =
    • A70°৭০°
    • B110°১১০°
    • C90°৯০°
    • D20°২০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 110°

    Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary, so ∠C = 180° − 70° = 110°. 20° is the complement of 70°, which uses the wrong rule.

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক, তাই ∠C = 180° − 70° = 110°। ২০° হল ৭০°-এর পূরক কোণ, যা এখানে ভুল নিয়ম।
  2. Q2easy

    Fill in the blank: The opposite angles of a cyclic quadrilateral are ____.

    শূন্যস্থান পূরণ করো: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি ____।
    • Acomplementaryপরস্পর পূরক
    • Balways equalসর্বদা সমান
    • Csupplementaryপরস্পর সম্পূরক
    • Deach 90°প্রতিটি ৯০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) supplementary

    By the theorem, each pair of opposite angles of a cyclic quadrilateral adds up to 180°, i.e. they are supplementary. They are equal (each 90°) only in special cases such as a rectangle.

    উপপাদ্য অনুযায়ী বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের প্রতিজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি 180°, অর্থাৎ তারা পরস্পর সম্পূরক। আয়তক্ষেত্রের মতো বিশেষ ক্ষেত্রেই কেবল তারা সমান (প্রতিটি 90°) হয়।
  3. Q3easy

    Which statement is correct?

    কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • AA cyclic parallelogram is always a rectangle.বৃত্তস্থ সামান্তরিক সর্বদা আয়তক্ষেত্র।
    • BEvery rhombus is a cyclic quadrilateral.প্রত্যেক রম্বসই বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    • CEvery trapezium is a cyclic quadrilateral.প্রত্যেক ট্রাপিজিয়ামই বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    • DThe opposite angles of a cyclic quadrilateral are always equal.বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সর্বদা সমান।
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) A cyclic parallelogram is always a rectangle.

    Opposite angles of a parallelogram are equal; if it is cyclic they are also supplementary, so each is 90° and it is a rectangle. A rhombus or a trapezium is cyclic only in special cases (a square, an isosceles trapezium).

    সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি সমান; এটি বৃত্তস্থ হলে সেগুলি সম্পূরকও, তাই প্রতিটি কোণ 90° এবং চিত্রটি আয়তক্ষেত্র। রম্বস বা ট্রাপিজিয়াম কেবল বিশেষ ক্ষেত্রে (বর্গক্ষেত্র, সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম) বৃত্তস্থ হয়।
  4. Q4easy

    ABCD is a cyclic quadrilateral. Side AB is produced to E. If ∠CBE = 80°, then ∠ADC =

    ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠CBE = 80° হলে ∠ADC =
    • A100°১০০°
    • B40°৪০°
    • C160°১৬০°
    • D80°৮০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 80°

    ∠ABC = 180° − 80° = 100°, and ∠ADC = 180° − ∠ABC = 80°. In short, an exterior angle of a cyclic quadrilateral equals the interior opposite angle.

    ∠ABC = 180° − 80° = 100°, এবং ∠ADC = 180° − ∠ABC = 80°। সংক্ষেপে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
  5. Q5medium

    In a cyclic quadrilateral ABCD, ∠A = (2x + 10)° and ∠C = (3x + 20)°. The value of x is

    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠A = (2x + 10)° এবং ∠C = (3x + 20)°। x-এর মান
    • A34৩৪
    • B30৩০
    • C40৪০
    • D28২৮
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 30

    ∠A + ∠C = 180°, so 5x + 30 = 180, giving x = 30. Check: ∠A = 70° and ∠C = 110°, which add up to 180°.

    ∠A + ∠C = 180°, তাই 5x + 30 = 180, অর্থাৎ x = 30। যাচাই: ∠A = 70° ও ∠C = 110°, যাদের সমষ্টি 180°।
  6. Q6medium

    The angles of four quadrilaterals PQRS are given below. For which one are the four vertices concyclic?

    নীচে চারটি চতুর্ভুজ PQRS-এর কোণগুলি দেওয়া আছে। কোনটির শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ?
    • A∠P = 85°, ∠Q = 95°, ∠R = 85°, ∠S = 95°∠P = 85°, ∠Q = 95°, ∠R = 85°, ∠S = 95°
    • B∠P = 90°, ∠Q = 80°, ∠R = 100°, ∠S = 90°∠P = 90°, ∠Q = 80°, ∠R = 100°, ∠S = 90°
    • C∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 110°, ∠S = 80°∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 110°, ∠S = 80°
    • D∠P = 60°, ∠Q = 120°, ∠R = 60°, ∠S = 120°∠P = 60°, ∠Q = 120°, ∠R = 60°, ∠S = 120°
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) ∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 110°, ∠S = 80°

    The vertices are concyclic when a pair of opposite angles is supplementary. Only in the third case ∠P + ∠R = 70° + 110° = 180° (and ∠Q + ∠S = 180°); in the others ∠P + ∠R is 170°, 190° and 120°.

    একজোড়া বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ হয়। কেবল তৃতীয়টিতে ∠P + ∠R = 70° + 110° = 180° (এবং ∠Q + ∠S = 180°); বাকিগুলিতে ∠P + ∠R যথাক্রমে ১৭০°, ১৯০° ও ১২০°।
  7. Q7medium

    Which earlier theorem is used to prove that the opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary?

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক — এটি প্রমাণ করতে আগের কোন উপপাদ্যটি ব্যবহার করা হয়?
    • AA tangent is perpendicular to the radius through the point of contact.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর স্পর্শক লম্ব।
    • BThe perpendicular from the centre to a chord bisects the chord.বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    • CPythagoras' theorem.পিথাগোরাসের উপপাদ্য।
    • DThe angle subtended by an arc at the centre is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle.বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপ দ্বারা গঠিত যে-কোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) The angle subtended by an arc at the centre is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle.

    Join the centre O to B and D. Since the angle at the centre is twice the angle at the circumference, ∠BOD = 2∠BAD and reflex ∠BOD = 2∠BCD; the two central angles add to 360°, so ∠BAD + ∠BCD = 180°.

    কেন্দ্র O-কে B ও D-এর সঙ্গে যুক্ত করি। কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ বলে ∠BOD = 2∠BAD এবং প্রবৃদ্ধ ∠BOD = 2∠BCD; দুটি কেন্দ্রস্থ কোণের সমষ্টি 360°, তাই ∠BAD + ∠BCD = 180°।
  8. Q8medium

    ABCD is a cyclic quadrilateral in which side AB is a diameter of the circle. If ∠ADC = 130°, then ∠BAC =

    ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার AB বাহুটি বৃত্তের ব্যাস। ∠ADC = 130° হলে ∠BAC =
    • A40°৪০°
    • B50°৫০°
    • C90°৯০°
    • D130°১৩০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 40°

    ∠ABC = 180° − 130° = 50° (opposite angles) and ∠ACB = 90° (angle in a semicircle). So in triangle ABC, ∠BAC = 180° − 90° − 50° = 40°; 50° is ∠ABC, not ∠BAC.

    ∠ABC = 180° − 130° = 50° (বিপরীত কোণ) এবং ∠ACB = 90° (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)। সুতরাং △ABC-তে ∠BAC = 180° − 90° − 50° = 40°; ৫০° হল ∠ABC, ∠BAC নয়।
  9. Q9medium

    ABCD is a cyclic trapezium with AB ∥ DC. If ∠A = 75°, then ∠B =

    ABCD একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম, যেখানে AB ∥ DC। ∠A = 75° হলে ∠B =
    • A105°১০৫°
    • B75°৭৫°
    • C15°১৫°
    • D85°৮৫°
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 75°

    AB ∥ DC gives ∠A + ∠D = 180°, so ∠D = 105°; opposite angles of the cyclic quadrilateral give ∠B = 180° − ∠D = 75°. So ∠A = ∠B — a cyclic trapezium is isosceles.

    AB ∥ DC বলে ∠A + ∠D = 180°, তাই ∠D = 105°; বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক বলে ∠B = 180° − ∠D = 75°। অর্থাৎ ∠A = ∠B — বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সমদ্বিবাহু।
  10. Q10medium

    ABCD is a cyclic quadrilateral with ∠A = 100° and ∠B = 65°. Side DC is produced to E and side CD is produced to F. Match Column A with Column B. Column A: (a) ∠BCD, (b) ∠ADC, (c) ∠BCE, (d) ∠ADF. Column B: (i) 65°, (ii) 80°, (iii) 100°, (iv) 115°.

    ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যেখানে ∠A = 100° এবং ∠B = 65°। DC বাহুকে E পর্যন্ত এবং CD বাহুকে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) ∠BCD, (b) ∠ADC, (c) ∠BCE, (d) ∠ADF। ডানস্তম্ভ: (i) ৬৫°, (ii) ৮০°, (iii) ১০০°, (iv) ১১৫°।
    • Aa-ii, b-iv, c-iii, d-ia-ii, b-iv, c-iii, d-i
    • Ba-iii, b-i, c-ii, d-iva-iii, b-i, c-ii, d-iv
    • Ca-ii, b-iv, c-i, d-iiia-ii, b-iv, c-i, d-iii
    • Da-iv, b-ii, c-iii, d-ia-iv, b-ii, c-iii, d-i
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) a-ii, b-iv, c-iii, d-i

    ∠BCD = 180° − 100° = 80° and ∠ADC = 180° − 65° = 115°. Each exterior angle equals the interior opposite angle: ∠BCE = ∠A = 100° and ∠ADF = ∠B = 65°. So a-ii, b-iv, c-iii, d-i.

    ∠BCD = 180° − 100° = 80° এবং ∠ADC = 180° − 65° = 115°। প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান: ∠BCE = ∠A = 100° এবং ∠ADF = ∠B = 65°। সুতরাং a-ii, b-iv, c-iii, d-i।
  11. Q11hard

    ABCD is a cyclic quadrilateral. If ∠DBC = 40° and ∠BAC = 60°, then ∠BCD =

    ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠DBC = 40° এবং ∠BAC = 60° হলে ∠BCD =
    • A100°১০০°
    • B60°৬০°
    • C80°৮০°
    • D140°১৪০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 80°

    ∠CAD = ∠CBD = 40° (angles in the same segment on chord CD). So ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 40° = 100°, and ∠BCD = 180° − 100° = 80°; 100° is ∠BAD itself.

    CD জ্যা-এর একই বৃত্তাংশস্থ কোণ বলে ∠CAD = ∠CBD = 40°। তাই ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 40° = 100°, এবং ∠BCD = 180° − 100° = 80°; ১০০° হল ∠BAD-এর মান।
  12. Q12hard

    ABCD is a cyclic quadrilateral in which AB = AD and ∠BCD = 80°. Then ∠ABD =

    ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যেখানে AB = AD এবং ∠BCD = 80°। তাহলে ∠ABD =
    • A50°৫০°
    • B80°৮০°
    • C20°২০°
    • D40°৪০°
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 40°

    ∠BAD = 180° − 80° = 100° (opposite angles). In triangle ABD, AB = AD, so ∠ABD = ∠ADB = (180° − 100°)/2 = 40°.

    ∠BAD = 180° − 80° = 100° (বিপরীত কোণ)। △ABD-তে AB = AD, তাই ∠ABD = ∠ADB = (180° − 100°)/2 = 40°।

Want the full set? Practise all 12 Theorems related to Cyclic Quadrilateral (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য) questions →

← All Mathematics (গণিত) chapters