Construction: Circumcircle and Incircle of a Triangle (সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন)

This chapter has

Construction: Circumcircle and Incircle of a Triangle (সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন) — quick revision notes

The circumcircle of a triangle passes through all three vertices; its centre (the circumcentre) is the point where the perpendicular bisectors of the sides meet. The incircle touches all three sides; its centre (the incentre) is the point where the internal bisectors of the angles meet, and its radius is the perpendicular distance from the incentre to any side.

• Circumcircle: draw the perpendicular bisectors of any two sides; their point of intersection O is the circumcentre, and OA (= OB = OC) is the circumradius.পরিবৃত্ত: যে-কোনো দুটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করি; তাদের ছেদবিন্দু O পরিকেন্দ্র, এবং OA (= OB = OC) পরিব্যাসার্ধ।
• The circumcentre is equidistant from the three vertices of the triangle.পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী।
• Position of the circumcentre: inside an acute-angled triangle, at the midpoint of the hypotenuse of a right-angled triangle, and outside an obtuse-angled triangle.পরিকেন্দ্রের অবস্থান: সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে ত্রিভুজের ভিতরে, সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে এবং স্থূলকোণী ত্রিভুজে ত্রিভুজের বাইরে।
• Circumradius of a right-angled triangle = half the hypotenuse (sides 6 cm, 8 cm, 10 cm give a circumradius of 5 cm).সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ = অতিভুজের অর্ধেক (বাহু ৬ সেমি, ৮ সেমি ও ১০ সেমি হলে পরিব্যাসার্ধ ৫ সেমি)।
• Incircle: draw the internal bisectors of any two angles; their point of intersection I is the incentre. Draw IM perpendicular to a side; IM is the inradius.অন্তর্বৃত্ত: যে-কোনো দুটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করি; তাদের ছেদবিন্দু I অন্তঃকেন্দ্র। I থেকে কোনো বাহুর উপর লম্ব IM টানি; IM অন্তর্ব্যাসার্ধ।
• The incentre is equidistant from the three sides and always lies inside the triangle.অন্তঃকেন্দ্র তিনটি বাহু থেকে সমদূরবর্তী এবং সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে।
• In an equilateral triangle the circumcentre and the incentre coincide, and circumradius = 2 × inradius.সমবাহু ত্রিভুজে পরিকেন্দ্র ও অন্তঃকেন্দ্র একই বিন্দু, এবং পরিব্যাসার্ধ = ২ × অন্তর্ব্যাসার্ধ।
• Joining the incentre to the vertices splits the triangle into three triangles of height r, so area Δ = r × s (s = semi-perimeter) and r = Δ/s.অন্তঃকেন্দ্রকে শীর্ষবিন্দুগুলির সঙ্গে যুক্ত করলে r উচ্চতার তিনটি ত্রিভুজ পাওয়া যায়, তাই ক্ষেত্রফল Δ = r × s (s = অর্ধপরিসীমা) এবং r = Δ/s।

Exam tip: In Madhyamik, constructions are asked only as long answers, usually with an internal choice between two constructions. Draw neatly with ruler and compasses, keep all construction marks, and measure and state the radius if asked. 1-mark MCQ or true/false items can ask where the circumcentre or incentre lies, or which lines meet there.মাধ্যমিকে সম্পাদ্য কেবল দীর্ঘ উত্তরের প্রশ্নে আসে, সাধারণত দুটি সম্পাদ্যের মধ্যে একটি বেছে নেওয়ার সুযোগ থাকে। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে পরিচ্ছন্নভাবে আঁকো, সব অঙ্কনচিহ্ন রেখে দাও এবং বলা থাকলে ব্যাসার্ধ মেপে লেখো। ১ নম্বরের MCQ বা সত্য/মিথ্যায় পরিকেন্দ্র বা অন্তঃকেন্দ্রের অবস্থান, অথবা কোন রেখাগুলি সেখানে মিলিত হয় — তা জিজ্ঞাসা করা হতে পারে।

Construction: Circumcircle and Incircle of a Triangle (সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

1. Q1easy

   Fill in the blank: The circumcentre of a triangle is the point where the ____ meet.

   শূন্যস্থান পূরণ করো: ত্রিভুজের ____ যে বিন্দুতে মিলিত হয়, সেটিই পরিকেন্দ্র।
   • Amediansমধ্যমাগুলি
   • Bperpendicular bisectors of the sidesবাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডকগুলি
   • Cinternal bisectors of the anglesকোণগুলির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকগুলি
   • Daltitudesউচ্চতাগুলি (শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্বগুলি)
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) perpendicular bisectors of the sides

   Every point on the perpendicular bisector of a side is equidistant from the two ends of that side, so the common point of the perpendicular bisectors is equidistant from all three vertices — the circumcentre. Medians meet at the centroid and the angle bisectors at the incentre.

   কোনো বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর যে-কোনো বিন্দু ওই বাহুর দুই প্রান্ত থেকে সমদূরবর্তী, তাই লম্বসমদ্বিখণ্ডকগুলির সাধারণ বিন্দুটি তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকেই সমদূরবর্তী — সেটিই পরিকেন্দ্র। মধ্যমাগুলি ভরকেন্দ্রে এবং কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি অন্তঃকেন্দ্রে মিলিত হয়।
2. Q2easy

   Fill in the blank: The incentre of a triangle is the point where the ____ meet.

   শূন্যস্থান পূরণ করো: ত্রিভুজের ____ যে বিন্দুতে মিলিত হয়, সেটিই অন্তঃকেন্দ্র।
   • Aperpendicular bisectors of the sidesবাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডকগুলি
   • Bmediansমধ্যমাগুলি
   • Caltitudesউচ্চতাগুলি (শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্বগুলি)
   • Dinternal bisectors of the anglesকোণগুলির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকগুলি
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) internal bisectors of the angles

   Every point on the bisector of an angle is equidistant from the two arms of the angle, so the meeting point of the internal angle bisectors is equidistant from all three sides — the incentre, the centre of the incircle.

   কোণের সমদ্বিখণ্ডকের উপর যে-কোনো বিন্দু কোণের দুই বাহু থেকে সমদূরবর্তী, তাই কোণগুলির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু তিনটি বাহু থেকেই সমদূরবর্তী — সেটিই অন্তঃকেন্দ্র, অর্থাৎ অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।
3. Q3easy

   The circumcentre of a right-angled triangle lies

   সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রের অবস্থান
   • Ainside the triangleত্রিভুজের ভিতরে
   • Boutside the triangleত্রিভুজের বাইরে
   • Cat the midpoint of the hypotenuseঅতিভুজের মধ্যবিন্দুতে
   • Dat the vertex of the right angleসমকোণের শীর্ষবিন্দুতে
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) at the midpoint of the hypotenuse

   The right angle is an angle in a semicircle, so the hypotenuse is a diameter of the circumcircle and its midpoint is the circumcentre.

   সমকোণটি একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, তাই অতিভুজটি পরিবৃত্তের ব্যাস এবং অতিভুজের মধ্যবিন্দুই পরিকেন্দ্র।
4. Q4easy

   Which statement is correct?

   কোন বিবৃতিটি সঠিক?
   • AThe incentre of a triangle always lies inside the triangle.ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে।
   • BThe circumcentre of a triangle always lies inside the triangle.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে।
   • CThe incircle of a triangle passes through its three vertices.ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
   • DThe circumcircle of a triangle touches its three sides.ত্রিভুজের পরিবৃত্ত তিনটি বাহুকে স্পর্শ করে।
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) The incentre of a triangle always lies inside the triangle.

   The internal angle bisectors always meet inside the triangle, so the incentre is always inside. The circumcentre can lie on or outside the triangle, and the last two options swap the roles of the two circles.

   কোণগুলির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরেই মিলিত হয়, তাই অন্তঃকেন্দ্র সর্বদা ভিতরে থাকে। পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের বাহুর উপরে বা বাইরেও থাকতে পারে, আর শেষ দুটি বিকল্পে দুটি বৃত্তের ভূমিকা উলটে দেওয়া হয়েছে।
5. Q5medium

   While drawing the circumcircle of triangle ABC, the perpendicular bisectors of AB and BC meet at O. The radius of the circumcircle is

   ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকার সময় AB ও BC বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক দুটি O বিন্দুতে ছেদ করল। পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে
   • Athe perpendicular distance from O to ABO থেকে AB-এর লম্ব দূরত্ব
   • Bhalf of ABAB-এর অর্ধেক
   • COAOA
   • Dhalf of ACAC-এর অর্ধেক
   Show answer & solution

   Correct answer: (C) OA

   O lies on both perpendicular bisectors, so OA = OB = OC, and the circle with centre O and radius OA passes through all three vertices. The perpendicular distance from O to a side is not the circumradius, and half of AC works only when AC is the hypotenuse of a right-angled triangle.

   O বিন্দুটি দুটি লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপরেই আছে, তাই OA = OB = OC, এবং O কেন্দ্র ও OA ব্যাসার্ধ নিয়ে আঁকা বৃত্ত তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়েই যায়। O থেকে কোনো বাহুর লম্ব দূরত্ব পরিব্যাসার্ধ নয়, আর AC-এর অর্ধেক কেবল তখনই ঠিক যখন AC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।
6. Q6medium

   The sides of a triangle are 6 cm, 8 cm and 10 cm. The radius of its circumcircle is

   একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য ৬ সেমি, ৮ সেমি ও ১০ সেমি। ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ
   • A4 cm৪ সেমি
   • B5 cm৫ সেমি
   • C6 cm৬ সেমি
   • D10 cm১০ সেমি
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) 5 cm

   6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², so the triangle is right-angled with hypotenuse 10 cm. The circumcentre is the midpoint of the hypotenuse, so the circumradius = 10 ÷ 2 = 5 cm.

   6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², তাই ত্রিভুজটি সমকোণী এবং অতিভুজ ১০ সেমি। পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু, তাই পরিব্যাসার্ধ = 10 ÷ 2 = 5 সেমি।
7. Q7medium

   In triangle ABC, ∠A = 110°. Where does the circumcentre of the triangle lie?

   △ABC-তে ∠A = 110°। ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র কোথায় অবস্থিত?
   • AInside the triangleত্রিভুজের ভিতরে
   • BOutside the triangleত্রিভুজের বাইরে
   • COn side BCBC বাহুর উপরে
   • DAt vertex AA শীর্ষবিন্দুতে
   Show answer & solution

   Correct answer: (B) Outside the triangle

   The triangle is obtuse-angled, and the perpendicular bisectors of the sides of an obtuse-angled triangle meet outside it, beyond the side opposite the obtuse angle. The circumcentre would lie on BC only if ∠A were 90°.

   ত্রিভুজটি স্থূলকোণী, আর স্থূলকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডক ত্রিভুজের বাইরে, স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর ওপারে মিলিত হয়। ∠A = 90° হলে তবেই পরিকেন্দ্র BC বাহুর উপর থাকত।
8. Q8medium

   While drawing the incircle of a triangle, after locating the incentre I, the radius of the incircle is taken as

   ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত আঁকার সময় অন্তঃকেন্দ্র I নির্ণয়ের পর অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ হিসেবে নেওয়া হয়
   • Athe distance from I to any vertexI থেকে যে-কোনো শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব
   • Bhalf of the longest sideবৃহত্তম বাহুর অর্ধেক
   • Cthe length of the bisector of any angleযে-কোনো কোণের সমদ্বিখণ্ডকের দৈর্ঘ্য
   • Dthe perpendicular distance from I to any one sideI থেকে যে-কোনো একটি বাহুর লম্ব দূরত্ব
   Show answer & solution

   Correct answer: (D) the perpendicular distance from I to any one side

   The incircle touches each side, and the radius drawn to a point of contact is perpendicular to that side. So draw IM perpendicular to a side; IM is the inradius. The distance from I to a vertex, and the full length of an angle bisector, are always larger.

   অন্তর্বৃত্ত প্রতিটি বাহুকে স্পর্শ করে, এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ বাহুর উপর লম্ব। তাই I থেকে কোনো বাহুর উপর লম্ব IM টানি; IM-ই অন্তর্ব্যাসার্ধ। I থেকে শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব এবং কোণের সমদ্বিখণ্ডকের পুরো দৈর্ঘ্য সর্বদা এর চেয়ে বেশি।
9. Q9medium

   Fill in the blank: In a/an ____ triangle, the circumcentre and the incentre are the same point.

   শূন্যস্থান পূরণ করো: ____ ত্রিভুজে পরিকেন্দ্র ও অন্তঃকেন্দ্র একই বিন্দু।
   • Aequilateralসমবাহু
   • Bright-angledসমকোণী
   • Cobtuse-angledস্থূলকোণী
   • Dscaleneবিষমবাহু
   Show answer & solution

   Correct answer: (A) equilateral

   In an equilateral triangle each perpendicular bisector of a side passes through the opposite vertex and also bisects that angle, so the two sets of lines are the same and meet at one point.

   সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক বিপরীত শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায় এবং সেই কোণকেও সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই দুই ধরনের রেখা একই হয়ে যায় এবং একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।
10. Q10medium

    Match Column A with Column B. Column A: (a) Circumcentre, (b) Incentre, (c) Circumcircle, (d) Incircle. Column B: (i) touches all three sides, (ii) is equidistant from the three vertices, (iii) passes through all three vertices, (iv) is equidistant from the three sides.

    বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) পরিকেন্দ্র, (b) অন্তঃকেন্দ্র, (c) পরিবৃত্ত, (d) অন্তর্বৃত্ত। ডানস্তম্ভ: (i) তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে, (ii) তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী, (iii) তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়েই যায়, (iv) তিনটি বাহু থেকে সমদূরবর্তী।
    • Aa-iv, b-ii, c-i, d-iiia-iv, b-ii, c-i, d-iii
    • Ba-ii, b-iv, c-i, d-iiia-ii, b-iv, c-i, d-iii
    • Ca-ii, b-iv, c-iii, d-ia-ii, b-iv, c-iii, d-i
    • Da-iv, b-ii, c-iii, d-ia-iv, b-ii, c-iii, d-i
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) a-ii, b-iv, c-iii, d-i

    The circumcentre is equidistant from the vertices and the circumcircle passes through them; the incentre is equidistant from the sides and the incircle touches them: a-ii, b-iv, c-iii, d-i.

    পরিকেন্দ্র শীর্ষবিন্দুগুলি থেকে সমদূরবর্তী এবং পরিবৃত্ত সেগুলি দিয়ে যায়; অন্তঃকেন্দ্র বাহুগুলি থেকে সমদূরবর্তী এবং অন্তর্বৃত্ত সেগুলিকে স্পর্শ করে: a-ii, b-iv, c-iii, d-i।
11. Q11hard

    The sides of a right-angled triangle are 6 cm, 8 cm and 10 cm. The radius of its incircle is

    একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য ৬ সেমি, ৮ সেমি ও ১০ সেমি। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ
    • A2 cm২ সেমি
    • B3 cm৩ সেমি
    • C4 cm৪ সেমি
    • D5 cm৫ সেমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 2 cm

    Area Δ = ½ × 6 × 8 = 24 cm² and semi-perimeter s = (6 + 8 + 10)/2 = 12 cm. Joining the incentre to the vertices gives Δ = r × s, so r = 24 ÷ 12 = 2 cm. 5 cm is the circumradius, not the inradius.

    ক্ষেত্রফল Δ = ½ × 6 × 8 = 24 বর্গসেমি এবং অর্ধপরিসীমা s = (6 + 8 + 10)/2 = 12 সেমি। অন্তঃকেন্দ্রকে শীর্ষবিন্দুগুলির সঙ্গে যুক্ত করলে পাই Δ = r × s, তাই r = 24 ÷ 12 = 2 সেমি। ৫ সেমি হল পরিব্যাসার্ধ, অন্তর্ব্যাসার্ধ নয়।
12. Q12hard

    Each side of an equilateral triangle is 6√3 cm long. The radius of its circumcircle is

    একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6√3 সেমি। ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ
    • A3 cm৩ সেমি
    • B6√3 cm6√3 সেমি
    • C3√3 cm3√3 সেমি
    • D6 cm৬ সেমি
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 6 cm

    Height = (√3/2) × 6√3 = 9 cm. In an equilateral triangle the circumcentre is also the centroid, which divides each median (here the height) in the ratio 2 : 1, so the circumradius = ⅔ × 9 = 6 cm; 3 cm is the inradius.

    উচ্চতা = (√3/2) × 6√3 = 9 সেমি। সমবাহু ত্রিভুজে পরিকেন্দ্রই ভরকেন্দ্র, যা প্রতিটি মধ্যমাকে (এখানে উচ্চতাকে) 2 : 1 অনুপাতে ভাগ করে; তাই পরিব্যাসার্ধ = ⅔ × 9 = 6 সেমি। ৩ সেমি হল অন্তর্ব্যাসার্ধ।

Want the full set? Practise all 12 Construction: Circumcircle and Incircle of a Triangle (সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন) questions →