Madhyamik 2027 (WBBSE) · Mathematics (গণিত)

Theorems related to Circle (বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য)

12 practice questions with full step-by-step solutions, quick revision notes — free, no sign-up.

Content reviewed by Kaustav Basak, Founder · Report a mistake

Practise · 12 questions

This chapter has

4
easy
6
medium
2
hard

Theorems related to Circle (বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য) — quick revision notes

This chapter links the chords of a circle with its centre. Equal chords cut off equal arcs and make equal angles at the centre (and the converse holds), exactly one circle passes through three non-collinear points, and the perpendicular from the centre to a chord bisects it, while the line joining the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to it.

এই অধ্যায়ে বৃত্তের জ্যা ও কেন্দ্রের সম্পর্ক আলোচিত হয়েছে। সমান সমান জ্যা সমান সমান বৃত্তচাপ ছিন্ন করে ও কেন্দ্রে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে (বিপরীতটিও সত্য); তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়; কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, আবার কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব।
  • Equal chords of a circle cut off equal arcs and make equal angles at the centre.বৃত্তের সমান সমান জ্যা সমান সমান বৃত্তচাপ ছিন্ন করে এবং কেন্দ্রে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে।
  • Conversely, chords that make equal angles at the centre are equal.বিপরীতক্রমে, যে জ্যাগুলি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে সেগুলি দৈর্ঘ্যে সমান।
  • One and only one circle passes through three non-collinear points; no circle passes through three collinear points.তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়; তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে কোনো বৃত্ত অঙ্কন করা যায় না।
  • Theorem: the perpendicular from the centre of a circle to a chord (not a diameter) bisects the chord.উপপাদ্য: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
  • Theorem (converse): the line joining the centre to the midpoint of a chord (not a diameter) is perpendicular to the chord.উপপাদ্য (বিপরীত): বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ওই জ্যা-এর উপর লম্ব।
  • If r is the radius, d the distance of a chord from the centre and l its length, then r² = d² + (l/2)².ব্যাসার্ধ r, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব d এবং জ্যা-এর দৈর্ঘ্য l হলে r² = d² + (l/2)²।
  • The diameter is the longest chord; for a chord through the centre, d = 0.ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা; কেন্দ্রগামী জ্যা-এর ক্ষেত্রে d = 0।
  • If a chord of the larger of two concentric circles cuts the smaller one at C and D, the outer parts are equal (AC = BD).দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বড়োটির কোনো জ্যা ছোটোটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে বাইরের অংশ দুটি সমান হয় (AC = BD)।

Common mistakes to avoid

  • Forgetting to double the half-chord found by Pythagoras' theorem.
  • Giving the radius when the diameter is asked.
  • For two parallel chords, not checking whether they lie on the same side of the centre (subtract the distances) or on opposite sides (add them).

Exam tip: Geometry 1-mark MCQs, fill-ins and true/false often ask how many circles pass through three points or a chord length from the radius and distance; 2-mark answers use r² = d² + (l/2)²; a long answer may ask you to prove that the perpendicular from the centre bisects a chord, or its converse — learn both proofs with the figure and the RHS/SSS congruence step.জ্যামিতির ১ নম্বরের MCQ, শূন্যস্থান পূরণ বা সত্য/মিথ্যায় প্রায়ই তিনটি বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যায় বা ব্যাসার্ধ ও দূরত্ব থেকে জ্যা-এর দৈর্ঘ্য জানতে চাওয়া হয়; ২ নম্বরের প্রশ্নে r² = d² + (l/2)² ব্যবহার হয়; দীর্ঘ প্রশ্নে 'কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে' উপপাদ্য বা তার বিপরীত উপপাদ্যের প্রমাণ আসতে পারে — চিত্রসহ দুটি প্রমাণ এবং সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS) ও বাহু-বাহু-বাহু (SSS) সর্বসমতার ধাপ ভালো করে শিখবে।

Theorems related to Circle (বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য) — solved practice questions

12 Madhyamik Mathematics (গণিত) questions with step-by-step solutions. Attempt each, then reveal the answer.

  1. Q1easy

    How many circles can be drawn through three non-collinear points?

    তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়?
    • ANoneএকটিও না
    • BOne and only oneএকটি এবং কেবলমাত্র একটি
    • CExactly twoঠিক দুটি
    • DInfinitely manyঅসংখ্য
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) One and only one

    Exactly one circle passes through three non-collinear points; its centre is the meeting point of the perpendicular bisectors of the segments joining them. Through two points infinitely many circles pass, and through three collinear points none.

    তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়; বিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দুই তার কেন্দ্র। দুটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত যায়, আর তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে কোনো বৃত্ত যায় না।
  2. Q2easy

    The perpendicular drawn from the centre of a circle to a chord (not a diameter) divides the chord in the ratio ____.

    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাটিকে ____ অনুপাতে বিভক্ত করে।
    • A1 : 11 : 1
    • B1 : 21 : 2
    • C2 : 12 : 1
    • D1 : 31 : 3
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 1 : 1

    The perpendicular from the centre bisects the chord, so the two parts are equal (ratio 1 : 1). Proof: OA = OB, OM is common and ∠OMA = ∠OMB = 90°, so ΔOAM ≅ ΔOBM (RHS) and AM = BM.

    কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অংশ দুটি সমান (অনুপাত 1 : 1)। প্রমাণ: OA = OB, OM সাধারণ বাহু এবং ∠OMA = ∠OMB = 90°, তাই ΔOAM ≅ ΔOBM (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু) এবং AM = BM।
  3. Q3easy

    Which statement is correct?

    কোন বিবৃতিটি সঠিক?
    • AEqual chords of a circle make unequal angles at the centre.বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্রে অসমান কোণ উৎপন্ন করে।
    • BA circle can be drawn through any three collinear points.যে-কোনো তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
    • CThe line joining the centre of a circle to the midpoint of a chord (not a diameter) is perpendicular to the chord.বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ওই জ্যা-এর উপর লম্ব।
    • DA chord of a circle can be longer than its diameter.বৃত্তের কোনো জ্যা তার ব্যাসের চেয়ে বড়ো হতে পারে।
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) The line joining the centre of a circle to the midpoint of a chord (not a diameter) is perpendicular to the chord.

    The line from the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to it: ΔOAM ≅ ΔOBM (SSS), so the two angles at M are equal and add up to 180°, making each 90°. Equal chords make equal angles at the centre, no circle passes through three collinear points, and the diameter is the longest chord.

    কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব: বাহু-বাহু-বাহু শর্তে ΔOAM ≅ ΔOBM, তাই M বিন্দুতে কোণ দুটি সমান এবং তাদের যোগফল 180°, অর্থাৎ প্রতিটি 90°। সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে, তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে বৃত্ত আঁকা যায় না এবং ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
  4. Q4easy

    If two chords of a circle make equal angles at the centre, then the chords are ____.

    বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করলে জ্যা দুটি ____।
    • Aparallelসমান্তরাল
    • Bperpendicular to each otherপরস্পর লম্ব
    • Cdiametersব্যাস
    • Dequal in lengthদৈর্ঘ্যে সমান
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) equal in length

    Chords that make equal angles at the centre are equal in length (and cut off equal arcs). They need not be parallel, perpendicular or diameters.

    যে জ্যাগুলি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে সেগুলি দৈর্ঘ্যে সমান (এবং সমান বৃত্তচাপ ছিন্ন করে)। তারা সমান্তরাল, পরস্পর লম্ব বা ব্যাস হবেই এমন নয়।
  5. Q5medium

    The radius of a circle is 13 cm and a chord is 5 cm away from the centre. The length of the chord is

    একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৩ cm এবং একটি জ্যা কেন্দ্র থেকে ৫ cm দূরে অবস্থিত। জ্যাটির দৈর্ঘ্য
    • A12 cm১২ cm
    • B18 cm১৮ cm
    • C24 cm২৪ cm
    • D26 cm২৬ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 24 cm

    The perpendicular from the centre bisects the chord, so half-chord = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm and chord = 2 × 12 = 24 cm. Trap: 12 cm is only half the chord.

    কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধজ্যা = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm এবং জ্যা = 2 × 12 = 24 cm। সাবধান: ১২ cm কেবল জ্যা-এর অর্ধেক।
  6. Q6medium

    A chord of length 16 cm is drawn in a circle of radius 10 cm. Its distance from the centre is

    ১০ cm ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে ১৬ cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা অঙ্কিত। কেন্দ্র থেকে জ্যাটির দূরত্ব
    • A8 cm৮ cm
    • B6 cm৬ cm
    • C4 cm৪ cm
    • D12 cm১২ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) 6 cm

    The perpendicular from the centre bisects the chord, so half-chord = 8 cm and distance = √(10² − 8²) = √36 = 6 cm.

    কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধজ্যা = 8 cm এবং দূরত্ব = √(10² − 8²) = √36 = 6 cm।
  7. Q7medium

    In a circle with centre O, chords AB and CD are equal. If ∠AOB = (2x + 10)° and ∠COD = (3x − 20)°, then x =

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান জ্যা। ∠AOB = (2x + 10)° এবং ∠COD = (3x − 20)° হলে x-এর মান
    • A30৩০
    • B10১০
    • C70৭০
    • D20২০
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 30

    Equal chords make equal angles at the centre: 2x + 10 = 3x − 20 ⇒ x = 30, and each angle is 70°. Trap: 70 is the angle, not x.

    সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে: 2x + 10 = 3x − 20 ⇒ x = 30, এবং প্রতিটি কোণ 70°। সাবধান: ৭০ হল কোণের মান, x নয়।
  8. Q8medium

    AB is a chord of length 8 cm of a circle with centre O. M is the midpoint of AB and OM = 3 cm. The diameter of the circle is

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৮ cm। AB-এর মধ্যবিন্দু M এবং OM = 3 cm। বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য
    • A5 cm৫ cm
    • B6 cm৬ cm
    • C8 cm৮ cm
    • D10 cm১০ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 10 cm

    The line from the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to it, so ΔOMA is right-angled at M with AM = 4 cm: OA = √(4² + 3²) = 5 cm. Diameter = 2 × 5 = 10 cm (5 cm is the radius).

    কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব, তাই ΔOMA-তে ∠M সমকোণ এবং AM = 4 cm: OA = √(4² + 3²) = 5 cm। ব্যাস = 2 × 5 = 10 cm (৫ cm হল ব্যাসার্ধ)।
  9. Q9medium

    In a circle with centre O and radius 10 cm, match Column A with Column B. Column A: (a) length of a chord 6 cm from O, (b) length of a chord 8 cm from O, (c) length of the longest chord, (d) angle between a chord (not a diameter) and the line joining O to its midpoint. Column B: (i) 20 cm, (ii) 12 cm, (iii) 90°, (iv) 16 cm.

    O কেন্দ্রীয় ও ১০ cm ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রে বামস্তম্ভের সঙ্গে ডানস্তম্ভ মেলাও। বামস্তম্ভ: (a) O থেকে ৬ cm দূরের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য, (b) O থেকে ৮ cm দূরের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য, (c) বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য, (d) ব্যাস নয় এমন জ্যা এবং O ও ওই জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ। ডানস্তম্ভ: (i) ২০ cm, (ii) ১২ cm, (iii) 90°, (iv) ১৬ cm।
    • Aa-ii, b-iv, c-i, d-iiia-ii, b-iv, c-i, d-iii
    • Ba-iv, b-ii, c-i, d-iiia-iv, b-ii, c-i, d-iii
    • Ca-iv, b-ii, c-iii, d-ia-iv, b-ii, c-iii, d-i
    • Da-i, b-ii, c-iv, d-iiia-i, b-ii, c-iv, d-iii
    Show answer & solution

    Correct answer: (B) a-iv, b-ii, c-i, d-iii

    (a) 2√(10² − 6²) = 2 × 8 = 16 cm, (b) 2√(10² − 8²) = 2 × 6 = 12 cm, (c) the longest chord is the diameter = 20 cm, (d) that line is perpendicular to the chord, so the angle is 90°. Hence a-iv, b-ii, c-i, d-iii.

    (a) 2√(10² − 6²) = 2 × 8 = 16 cm, (b) 2√(10² − 8²) = 2 × 6 = 12 cm, (c) বৃহত্তম জ্যা হল ব্যাস = 20 cm, (d) ওই সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব, তাই কোণ 90°। সুতরাং a-iv, b-ii, c-i, d-iii।
  10. Q10medium

    In a circle of radius 5 cm, two parallel chords of lengths 8 cm and 6 cm lie on opposite sides of the centre. The distance between the two chords is

    ৫ cm ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে ৮ cm ও ৬ cm দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা কেন্দ্রের বিপরীত দিকে অবস্থিত। জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
    • A1 cm১ cm
    • B5 cm৫ cm
    • C7 cm৭ cm
    • D14 cm১৪ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (C) 7 cm

    Distances from the centre: √(5² − 4²) = 3 cm for the 8 cm chord and √(5² − 3²) = 4 cm for the 6 cm chord. On opposite sides they add: 3 + 4 = 7 cm (on the same side the answer would be 1 cm).

    কেন্দ্র থেকে দূরত্ব: ৮ cm জ্যা-এর ক্ষেত্রে √(5² − 4²) = 3 cm এবং ৬ cm জ্যা-এর ক্ষেত্রে √(5² − 3²) = 4 cm। কেন্দ্রের বিপরীত দিকে থাকায় যোগ করতে হবে: 3 + 4 = 7 cm (একই দিকে থাকলে উত্তর হত ১ cm)।
  11. Q11hard

    Two circles have the same centre O. A chord AB of the larger circle cuts the smaller circle at C and D, in the order A, C, D, B. If AB = 20 cm and CD = 10 cm, then AC =

    দুটি বৃত্তের কেন্দ্র একই বিন্দু O। বড়ো বৃত্তের AB জ্যা ছোটো বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে (ক্রম A, C, D, B)। AB = 20 cm এবং CD = 10 cm হলে AC-এর দৈর্ঘ্য
    • A5 cm৫ cm
    • B10 cm১০ cm
    • C7.5 cm৭.৫ cm
    • D15 cm১৫ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (A) 5 cm

    Draw OM ⊥ AB. The perpendicular from the centre bisects both chords, so AM = 10 cm and CM = 5 cm. AC = AM − CM = 5 cm (similarly BD = 5 cm, so AC = BD).

    OM ⊥ AB অঙ্কন করি। কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটি জ্যাকেই সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই AM = 10 cm এবং CM = 5 cm। AC = AM − CM = 5 cm (একইভাবে BD = 5 cm, অর্থাৎ AC = BD)।
  12. Q12hard

    Two circles of radii 13 cm and 15 cm intersect at A and B, and the common chord AB = 24 cm. If the centres lie on opposite sides of AB, the distance between the centres is

    ১৩ cm ও ১৫ cm ব্যাসার্ধের দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং সাধারণ জ্যা AB = 24 cm। কেন্দ্র দুটি AB-এর বিপরীত দিকে থাকলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
    • A4 cm৪ cm
    • B5 cm৫ cm
    • C9 cm৯ cm
    • D14 cm১৪ cm
    Show answer & solution

    Correct answer: (D) 14 cm

    The perpendicular from each centre bisects AB at the same midpoint M, so AM = 12 cm. Distances from AB: √(13² − 12²) = 5 cm and √(15² − 12²) = 9 cm. On opposite sides they add: 5 + 9 = 14 cm (4 cm would be for the same side).

    প্রতিটি কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব AB-কে একই মধ্যবিন্দু M-এ সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই AM = 12 cm। AB থেকে দূরত্ব: √(13² − 12²) = 5 cm এবং √(15² − 12²) = 9 cm। বিপরীত দিকে থাকায় যোগ করি: 5 + 9 = 14 cm (একই দিকে থাকলে উত্তর হত ৪ cm)।

Want the full set? Practise all 12 Theorems related to Circle (বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য) questions →

← All Mathematics (গণিত) chapters